1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.2 平面与平面垂直的判定 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)1.通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 1二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二
2、面角的，两个半平面叫做二面角的(3)记法：二面角 或 或 或 P-AB-Q.两个半平面棱面-l-AB-P-l-Q(4)二面角的平面角：若有O l；OA，OB；OA l，OB l，则二面角-l-的平面角是 .(5)二面角 的取值范围为 当两个二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为 0，当两个二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为 180.AOB0 180思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示 无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果
3、它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直(2)画法：(3)记作：直二面角(4)判定定理：文字语言一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言l，垂线l思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示 不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面B 根据二面角的记法规则可知 B 正确1如图所示的二面角可记为()Al BMlNClMNDlC 经过 l 的任一平面都和 垂直2已知直线 l平面，则经过 l 且和 垂直的平面()A有一个B有两个C有无数个D不存在90 PA平面 ABC，PAAB，PAAC，BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角
4、，又BAC90.所以所求二面角的大小为 90.3如图所示，三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角 B-PA-C 的大小等于_合 作 探 究 释 疑 难 二面角的计算问题【例 1】如图，已知三棱锥 A-BCD 的各棱长均为 2，求二面角A-CD-B 的余弦值解 如图，取 CD 的中点 M，连接 AM，BM，则 AMCD，BMCD.由二面角的定义可知AMB 为二面角 A-CD-B 的平面角设点 H 是BCD 的重心，则 AH平面 BCD，且点 H 在 BM 上在 RtAMH 中，AM 32 2 3，HM 32 213 33，则 cos AMB33313，即二面角的余弦值为1
5、3.1求二面角的大小关键是作出平面角：求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小2确定二面角的平面角的方法：定义法在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线 垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角跟进训练1如图，AC平面 BCD，BDCD,AC12AD，求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小证明 因为 AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以 BDAC.又因为 BDCD，ACCDC，所以 BD平面
6、ACD.因为 AD平面 ACD，所以 ADBD，所以ADC 即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角在 RtACD 中，AC12AD，所以ADC30.平面与平面垂直的判定【例 2】如图所示，在四面体 ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又 SASBSC.求证：平面 ABC平面 SBC.证明(1)法一：(利用定义证明)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB 和ASC 是等边三角形，则有 SASBSCABAC，令其值为 a，则ABC 和SBC 为共底边 BC 的等腰三角形取 BC 的中点 D，如图所示，连接 AD，SD，则 ADBC，SDBC，所以ADS 为二面角
7、A-BC-S 的平面角在 RtBSC 中，因为 SBSCa，所以 SD 22 a，BDBC2 22 a.在 RtABD 中，AD 22 a，在ADS 中，因为 SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角 A-BC-S 为直二面角，故平面 ABC平面 SBC.法二：(利用判定定理)因为 SASBSC，且BSACSA60，所以 SAABAC，所以点 A 在平面 SBC 上的射影为SBC 的外心因为SBC 为直角三角形，所以点 A 在SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点，所以 AD平面 SBC.又因为 AD平面 ABC，所以平面 ABC平面 SBC.证明面面垂直常用的方法：定义法即说明两个半
8、平面所成的二面角是直二面角 判定定理法在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直 性质法两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面跟进训练2如图所示，四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形，PC平面 ABCD，E 是 PA 的中点，求证：平面 BDE平面 ABCD.证明 连接 AC，设 ACBDO，连接 OE.因为 O 为 AC 中点，E 为 PA 的中点，所以 EO 是PAC 的中位线，所以 EOPC.因为 PC平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD.又因为 EO平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD.线线、线面垂直的综合探究问题1如图所示
9、，如何作出二面角 PABQ 的平面角？提示 过点 P 作平面 ABQ 的垂线，垂足为 H.过 H 作 HO棱AB 于点 O，连接 OP，则POH 即为二面角 P-AB-Q 的平面角2线面、面面垂直关系是如何转化的？提示 欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可【例 3】如图所示，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点(1)求证：A1EBD；(2)当 E 恰为棱 CC1 的中点时，求证：平面 A1BD平面 EBD.思路探究：(1)欲证 A1EBD，只需证明 BD 垂直 A1E 所在平面即可；(2)要证平面 A1BD平面 EBD，只需求出二面角为
10、直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面证明 连接 AC，设 ACDBO，连接 A1O，OE，(1)因为 AA1底面 ABCD，所以 BDA1A，又 BDAC，A1AACA，所以 BD平面 ACEA1，因为 A1E平面 ACEA1，所以 A1EBD.(2)在等边三角形 A1BD 中，BDA1O，因为 BD平面 ACEA1，OE平面 ACEA1，所以 BDOE，所以A1OE 为二面角 A1BDE 的平面角在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设棱长为 2a，因为 E 为棱 CC1 的中点，由平面几何知识，得 EO 3a，A1O 6a，A1E3a，满足A1E2A1O2EO2，所以
11、A1OE90，即平面 A1BD平面 EBD.本例中，条件不变，试求二面角 E-BD-C 的正切值解 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE(图略).由例题中(2)知，BDOE，BDOC.EOC 为二面角 E-BD-C 的平面角设正方体棱长为 a，则 CEa2，OC 22 a.在 RtOCE 中，tan EOCCEOCa222 a 22.所以二面角 E-BD-C 的正切值为 22.线面、面面垂直的综合问题的解题策略：(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题
12、时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用课 堂 小 结 提 素 养 1求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决C 由面面垂直的判定定理，得 与 垂直，故选 C.1直线 l平面，l平面，则 与 的位置关系是()A平行 B可能重合C相交且垂直D相交不垂直D 画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所
13、夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选 D.2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角B相等C其和为周角D互为补角45 根据长方体中的位置关系可知，ABBC，A1BBC，根据二面角的平面角定义可知，ABA1 即为二面角 A-BC-A1 的平面角.又 ABAA1，且 ABAA1，所以ABA1 45.3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面角等于_4如图，棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形，B1CA1B.证明：平面 AB1C平面 A1BC1.证明 因为 BCC1B1 是菱形，所以 B1CBC1，又 B1CA1B，且 BC1A1BB，所以 B1C平面 A1BC1，又 B1C平面 AB1C，所以平面 AB1C平面 A1BC1.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
