1、立体几何(6)1如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BB1的中点(1)求证：BC1平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值22020山东高考第一次大联考如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形SA平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；(2)若EFBC，求二面角B SC D的余弦值32020天津卷如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，ACBC2，CC13，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD1，CE2，M为棱A1B1的中点(1)求证：C1M
2、B1D；(2)求二面角B B1E D的正弦值；(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值42020山东烟台、荷泽联考如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD，ABAD，ABAD2CD2，ADP为等边三角形(1)当PB的长为多少时，平面PAD平面ABCD？并说明理由；(2)若二面角P AD B的大小为150，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值52020全国卷如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角B PC E的余弦值62020山东济南质量针对性检测如图
3、所示，半圆弧AD所在平面与平面ABCD垂直，且M是上异于A，D的点，ABCD，ABC90，AB2CD2BC.(1)求证：AM平面BDM；(2)若M为AD的中点，求二面角B MC D的余弦值立体几何(6)1解析：(1)在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB綉DC，D1C1綉DC，AB綉D1C1，四边形ABC1D1为平行四边形，BC1AD1.又AD1平面AD1E，BC1平面AD1E，BC1平面AD1E.(2)设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0
4、,2)，E(0,2,1)，(0,0,2)，(2,0,2)，(0,2,1)设平面AD1E的法向量为n(x，y，z)，由得令z2，则x2，y1，n(2,1，2)设直线AA1与平面AD1E所成的角为，则sin |cos，n|.2解析：(1)证明：以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.设D(0，b,0)，S(0,0，c)，则C(1，b,0)，E，F，(0,0，c)，(0，b,0)因为EF与平面ABCD所成的角为45，所以与平面ABCD的法向量的夹角为45.|cos 45，即c ，解得c1，故，(1，b，1)，从而0，0，所以EFSC，EFAD.因此EF
5、为异面直线AD与SC的公垂线(2)由B(1,0,0)，(0，b,0)，|得b.于是F，C(1，0)，连接FB，故，(1，1)，从而0，即FBSC.取CF的中点G，连接GD，则G，从而0，即GDSC.因此，等于二面角B SC D的平面角cos ，.所以二面角B SC D的余弦值为.3解析：依题意，以C为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)(1)依题意，(1,1,0)，(2，2，2)，从而22
6、00，所以C1MB1D.(2)依题意，(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，(0,2,1)，(2,0，1)设n(x，y，z)为平面DB1E的法向量，则即不妨设x1，可得n(1，1,2)因此有cos，n，于是sin，n.所以，二面角B B1E D的正弦值为.(3)依题意，(2,2,0)由(2)知n(1，1,2)为平面DB1E的一个法向量，于是cos，n.所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.4解析：(1)当PB2时，平面PAD平面ABCD.证明如下：在PAB中，因为ABPA2，PB2，所以ABPA，又ABAD，ADPAA，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面AB
7、CD.(2)分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，则OEAB.因为ADP为等边三角形，O为AD的中点，所以POAD.又OEAB，ABAD，所以OEAD，故POE为二面角P AD B的平面角，所以POE150.如图，以O为原点，分别以，的方向以及垂直于平面ABCD且向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz，易知OP，又POE150，所以P，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,0)可得(0,2,0)，.设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则有即令x1，可得n(1，2，4)设直线AB与平面PBC所成的角为，则有sin ，所以直线AB与平面PBC所成
8、角的正弦值为.5解析：(1)设DOa，由题设可得POa，AOa，ABa，PAPBPCa.因此PA2PB2AB2，从而PAPB.又PA2PC2AC2，故PAPC.又PBPCP，PB，PC平面PBC，所以PA平面PBC.(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.由题设可得E(0,1,0)，A(0，1,0)，C，P.所以，.设m(x，y，z)是平面PCE的法向量，则即可取m.由(1)知是平面PCB的一个法向量，记n，则cosn，m.易知二面角B PC E的平面角为锐角，所以二面角B PC E的余弦值为.6解析：(1)证明：取AB的中点E，连接DE
9、，因为AB2CD，所以CDBE，又ABCD，所以四边形BCDE为平行四边形，又CDBC，ABC90，所以四边形BCDE为正方形不妨设CD1，则BCDEBEAE1，AB2，BDAD，所以BD2AD2AB2，即BDAD，又平面ADM平面ABCD，平面ADM平面ABCDAD，所以BD平面ADM，又AM平面ADM，所以AMBD，因为M为半圆弧AD上异于A，D的点，所以AMDM，又DMBDD，所以AM平面BDM.(2)取AD的中点O，连接OM，OE，则OEBD，所以OEAD，当M为AD的中点时，有MAMD，则OMAD，因为平面ADM平面ABCD，平面ADM平面ABCDAD，所以OM平面ABCD，以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，由(1)知，B，C，D，M，.设m(x1，y1，z1)是平面MBC的法向量，则即令x11则y11，z13，可取m(1,1,3)设n(x2，y2，z2)是平面MCD的法向量，则即令y21，则x21，z21，可取n(1,1,1)所以cos m，n，由图可知所求二面角为钝角，所以二面角B MC D的余弦值为.