1、模块综合测评时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(1i)16(1i)16()A256 B256i C0 D256解析：(1i)16(1i)16(1i)28(1i)28(2i)8(2i)80.答案：C2一质点运动的方程为s(t)53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3 B3 C6 D6解析：t1时，瞬时速度vs(1) (3t6)6.故选D.答案：D3曲线f(x)sin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30 Bx2y20C2xy10
2、 D3xy10解析：因为f(x)sin xex，所以f(x)excos x，所以在x0处的切线斜率kf(0)112，所以f(x)sin xex在(0,1)处的切线方程为y12x，即2xy10.故选C.答案：C4如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的的图形是()解析：观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A选项中的图形答案：A5已知复数z12i，z2在复平面内对应的点在直线x1上，且满足1z2是纯虚数，则复数z2等于()A12i B12iC2i D2i解析：由z12i得12i.由z2在复平面内对应的点在直线x1上，可设z21bi(bR)，则1z
3、2(2i)(1bi)2b(2b1)i.由1 z2为纯虚数得2b0，且2b10，解得b2，故z212i.答案：A6已知a0，函数f(x)ax3ln x，且f(1)的最小值是12，则实数a的值为()A2 B2 C4 D4解析：f(x)3ax2，所以f(1)3a12，即a4.又a0，有a4，所以a4，故a2.答案：B7已知f(x)x2sin ，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解析：f(x)x2cos x，f(x)xsin x，令g(x)f(x)，则g(x)为奇函数，排除B，D；由g(x)cos x知g(x)在y轴右侧先单调递减，排除C.故选A.答案：A8我们知道，在边长为a的正三角
4、形内任一点到三条边的距离之和为定值a，类比上述结论可得，在棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值()A.a Ba C.a D.a解析：正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积设该点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由于每个面的面积均为a2，正四面体的体积为a3，则有a2(h1h2h3h4)a3，得h1h2h3h4a.答案：A9设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A B C D解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出
5、；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，若ab2，则a，b中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a1且b1，则ab2，与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C.答案：C10把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：设一段为x cm，则另一段为(12x)cm(0x12)，则S(x)22，所以S(x).令S(x)0，得x6，当x(0,6)时，S(x)0，当x(6,12)时，S(x)0，所以当x6时，S(x)最小所以S2(
6、cm2)故选D.答案：D11若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：由2xln xx2ax3，得a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故选B.答案：B12设f(x)x3ax25x6在区间1,3上为单调函数，则实数a的取值范围是()A，)B(，3C(，3，)D，解析：f(x)x22ax5，若f(x)在1,3上为单调函数且单调递增，则x1,3时
7、，x22ax50恒成立，即2a，而x1,3时，x2，所以2，所以2a2，a，若f(x)在1,3上单调递减，则x1,3时，x22ax50恒成立，即2a，而x1,3时，记h(x)x，hmaxh(1)6，所以6，所以2a6，a3，所以a的取值范围是(，3)，)故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13设i为虚数单位，若2aib3i(a，bR)，则abi_.解析：由2aib3i(a，bR)，得a3，b2，则abi32i.答案：32i14函数f(x)的图象与直线x1及x轴所围成的封闭图形的面积为_解析：由题意知所求面积为答案：e15已知函数f(x)是定义
8、在R上的奇函数，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0，若m，n，k，则m，n，k的大小关系是_(用“”连接)解析：设g(x)，则g(x).因为当x(，0)时，f(x)xf(x)0，所以当x(，0)时，g(x)0，g(x)单调递增，而函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)在R上单调递增因为ln log25，所以gg()g(log25)，所以nmk.答案：nmk16若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0,0
9、)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y(x1)2；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ytan x；直线l：yx1在点P(1,0)处“切过”曲线C：yln x.解析：对于，y3x2，y|x00，所以l：y0是曲线C：yx3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：yx3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为y2(x1)，y|x10，所以l：x1不是曲线C：y(x1)2在点P(1,0)处的切线，错误；对于，ycos x，y|x01，所以l：yx是曲线C：ysin x在点P(
10、0,0)处的切线，画图可知曲线C：ysin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，y|x01，所以l：yx是曲线C：ytan x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：ytan x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，y|x11，所以l：yx1是曲线C：yln x在点P(1,0)处的切线令h(x)x1ln x(x0)，可得h(x)1，当0x1时，h(x)0，当x1时，h(x)0，所以h(x)minh(1)0，故x1ln x，可知曲线C：yln x在点P(1,0)附近位于直线l的下侧，错误答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或
11、演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析：(1)由已知f(x)3x2a.因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只要a0.又因为a0时，f(x)3x20，所以f(x)x31在R上是增函数，所以a0.即a的取值范围为(，0(2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立所以a3x2在x(1,1)上恒成立因为1x1，所以3x23，只需a3.当a3时，
12、f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数，所以a3.故存在实数a的取值范围为3，)，使f(x)在(1,1)上单调递减18(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积解析：(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B
13、(0,2)，C(1，3)，所以SABC1.综上，ABC的面积为1.19(本小题满分12分)设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解析：(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在
14、(，1m)，(1m，)上是减函数，在(1m,1m)上是增函数函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2.20(本小题满分12分)设函数f(x)ln xln(2x)ax(a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，令f(x)0，得x.当0x时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(
15、0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.21(本小题满分12分)(1)在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：；(2)类比(1)中的结论，在四面体ABCD中，你能得到怎样的猜想？并说明理由解析：(1)证明：如图(1)所示，由射影定理可知，图(1)AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.(2)猜想：在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，且AE平面BCD于E，则.图(2)证明：如图(2)所示，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.又AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，
16、AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确22(本小题满分12分)已知函数f(x)x22alnx(a2)x，aR.(1)当a1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a0时，讨论函数f(x)的单调性；(3)是否存在实数a，对任意的x1，x2(0，)且x1x2有a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析：f(x)xa2(x0)(1)当a1时，f(x)，f(1)2，所以所求的切线方程为yf(1)2(x1)，即4x2y30.(2)当a2，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a2，即2a0时，因为0xa或x2时，f(x)0；ax2时，f(x)0，f(x)在(0，a)，(2，)上单调递增，在(a,2)上单调递减当a2，即a2时，因为0x2或xa时，f(x)0；2xa时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1x2.由a知f(x2)ax2f(x1)ax1成立，令g(x)f(x)axx22aln x2x，则函数g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)x20，即2ax22x(x1)21在(0，)上恒成立所以a，故存在这样的实数a满足题意，其范围为.