1、43.1空间直角坐标系43.2空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征2空间直角坐标系中点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标3空间两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|.(2)空间中，两点P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)之间的距离为|P1P2|.判一判1.点P(0,0,3)位于xOy平面内()2空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b
2、，c)的形式()3空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式()4关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反()5点M(1,0,0)位于x轴上()6点N(2,0,3)的位置在xOz平面内()7在空间直角坐标系中，若P(2，b,4)，Q(2，3，c)关于原点对称，则bc2.()8点P(1,4，3)与点Q(3，2,5)的中点坐标是(2,1,1)()想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P的坐标的步骤是什么？2求空间中点P(a，b，c)的位置的四个步骤是哪些？提示：(1)在平面xOy内作出点P(a，b,0)(2)过点P作垂直于平面xOy的直线l.(
3、3)在l上结合z的值与正负截取(4)得点P(a，b，c)3求空间对称点的方法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论4两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？提示：(1)求立体几何中线段长度问题建系：将立体图形放在空间直角坐标系中定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长(2)判断三角形形状利用两点间距离公式求三边长结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状思考感悟：练一练1.在空间直角坐标系中，下列各点中位于
4、yOz平面内的是()A(3,2,1)B(2,0,0)C(5,0,2) D(0，1，3)答案：D2点(1,1,1)关于z轴的对称点为()A(1，1,1) B(1，1，1)C(1,1，1) D(1，1，1)答案：A3已知点A(1,0,2)与点B(2,1,3)，则AB的中点坐标是()A. B.C. D(1,1,5)答案：B4已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案：C5.如图所示，点P在x轴的正半轴上，且|OP|2，点P在xOz平面内，且PP垂直于x轴，|PP|1，则点P的坐标是_答案：(2,0,1)知识
5、点一空间中点的坐标的确定1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A(1,0,0)B(1,0,1)C(1,1,1)D(1,1,0)解析：点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.答案：C2.如图所示，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120，G是棱PB的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P，A，B，C，D，G的坐标解析：如图所示，过点P作PO平面ABCD，垂足为点O.连接AO.因为ADPB，POAD，POPBP，所以AD平面POB，所以
6、ADOB.因为PAPD，所以OAOD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PEAD.所以以垂足O为原点，以OB，OP及在底面ABCD内过O且垂直于OB的直线分别为y轴、z轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意可得PEB120，PEO18012060.又等边三角形PAD的边长等于2，所以AEED1，PE.所以在RtPOE中，OEPEcos 60，POPEsin 60.又底面ABCD为菱形，所以ADBCABCD2.所以在RtAEB中，BE，所以OBOEBE.所以所求坐标分别为P，A，B，C，D.又因为G是棱PB的中点，所以由中点坐标公式可得G.知识点二空间直角坐标系中点的对称问题3.在空间
7、直角坐标系中，若P(3，2,1)，则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为()A(3，2，1)B(3,2,1)C(3,2，1) D(3，2，1)解析：设所求的点为Q(x，y，z)，因为点Q(x，y，z)与点P(3，2,1)关于平面xOz对称，所以P，Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x3，y2，z1，得Q点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4点P(1,3,5)关于坐标原点对称的点P的坐标是()A(1，3，5) B(1，3,5)C(1，3,5) D(1,3,5)解析：把点P(1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可，故点P的坐标为(1，3，5)答案：A知识点三
8、空间两点间的距离5.已知空间中两点A(1,2,3)，B(4,2，a)，且|AB|，则a的值为()A2 B4C0 D2或4解析：由空间两点间的距离公式得|AB|，即9a26a910，所以a26a80，所以a2或a4.选D.答案：D6已知点A(1t,1t，t)，点B(2，t，t)，tR，则A、B两点间距离的最小值为()A. B.C. D.解析：|AB|t时，距离最小答案：C综合知识空间直角坐标系7.在空间直角坐标系中，给定点M(2，1,3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|等于()A2 B4C2 D3解析：由题可知，A(2，1，3)，B(2,1，3)，所以|AB|
9、2.故选A.答案：A8.如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，点E，F分别为棱AB，CD的中点(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A，B，C，D的坐标；(2)证明：BEF为直角三角形解析：如图，设底面等边三角形BCD的中心为点O，连接AO，DO，延长DO交BC于点M，则AO平面BCD，点M是BC的中点，且DMBC，过点O作ONBC，交CD于点N，则ONDM，故以O为坐标原点，OM，ON，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为正四面体ABCD的棱长为1，点O为底面BCD的中心，所以|OD|DM| ，|OM|DM|.|OA| ，|BM|CM|，所以A，B，C，
10、D.(2)证明：由(1)及中点坐标公式，得E，F，所以|EF|，|BE|，|BF|.所以|BE|2|EF|2|BF|2，故BEF为直角三角形基础达标一、选择题1若A(1,3，2)，B(2,3,2)，则A，B两点间的距离为()A.B25C5 D.解析：|AB|5.答案：C2空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为()A(1,2,0) B(0,0,3)C(1,0,3) D(0,2,3)解析：因为空间直角坐标系Oxyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)答案：A3在空间直角坐标系中，点M(5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为
11、()A(5，3，1) B(5,3，1)C(5，3,1) D(5，3，1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x轴的对称点的坐标为(5，3，1)答案：A4点B是点A(2，3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为()A10 B.C. D38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，3，5)，所以|AB|10.答案：A5已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|PB|，则P点坐标为()A(6,0,0) B(6,0,1)C(0,0,6) D(0,6,0)解析：设P
12、(x,0,0)，|PA|，|PB|，由|PA|PB|得x6，故选A.答案：A6在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析：由题|AB|，|AC|，|BC|1，所以AC2AB2BC2，所以三角形ABC是直角三角形答案：A7已知点A(1,2,2)，B(1，3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为()A(0,1，1) B(0，1,6)C(0,1，6) D(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以，即(y2)2(z2)2(y3)2
13、(z1)2.经检验知，只有选项C满足答案：C二、填空题8点P(1,4，3)与点Q(3，2,5)的中点坐标是_解析：设点P与点Q的中点坐标为(x，y，z)，则x2，y1，z1.所以中点坐标是(2,1,1)答案：(2,1,1)9已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，7)，B(2,4,3)，则z_.解析：AB中点C，|PC|3.而 3，解为z0，或z4.答案：0或410已知平行四边形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3，7，5)，则点D的坐标为_解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P，则P为AC，BD的中点由A(4,1,3)，C(3,7，5)，得点P的坐标为.
14、又点B(2，5,1)，所以点D的坐标为(5,13，3)答案：(5,13，3)11在空间直角坐标系中，点M(2,4，3)在xOz平面上的射影为M点，则M点关于原点的对称点的坐标是_解析：点M(2,4，3)在平面xOz上的射影M(2,0，3)，M关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)答案：(2,0,3)12三棱锥PABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥PABC的体积为_解析：由A，B，C，P四点的坐标，知ABC为直角三角形，ABAC，PA底面ABC.由空间两点间的距离公式，得|AB|1，|AC|2，|PA|3，所以三棱锥PABC的体
15、积VSh1231.答案：1三、解答题13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，DEAC，垂足为E，求B1E的长解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)，在坐标平面xOy内，直线AC的方程为1，即2xy40，又DEAC，直线DE的方程为x2y0.由得E.|B1E|，即B1E的长为.14.如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上(1)当2
16、|C1Q|QC|时，求|PQ|；(2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值解析：据题意，知B(1,1,0)，D1(0,0,1)，故BD1的中点P.由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为(0,1，a)(0a1)(1)由2|C1Q|QC|，易知|QC|，故Q.从而|PQ|.(2)据题意，知|PQ|(0a1)当a时，2取得最小值从而|PO|min，此时Q.能力提升15.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|BN|a(0a)(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小解析：平面ABCD平面ABEF，平面
17、ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB，BC，BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NGAB.|CM|BN|a，|CH|MH|BG|GN|a，以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.(1)|MN|.(2)由(1)知，当a时，|MN|最短，最短为，这时M，N恰好为AC，BF的中点16在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标解析：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|MB|，设M(0，y,0)，由|MA|MB|，可得，显然，此式对任意yR恒成立这就是说，y轴上所有点都满足|MA|MB|.(2)假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使MAB为等边三角形由(1)可知，对y轴上任一点都有|MA|MB|，所以只要|MA|AB|就可以使得MAB是等边三角形因为|MA|，|AB|，于是，解得y，故在y轴上存在点M，使MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，0)或(0，0)
