1、2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念学习目标 1.了解向量的实际背景 2理解向量的相关概念和向量的几何表示 3理解相等向量、共线(平行)向量的含义，并会判断向量间平行(共线)、相等的关系 课前自主学案 温故夯基 1力的三要素：_、_、_ 2位移、速度_大小和方向，_特定位置 大小方向作用点有无1向量的定义 具有_和_的量称为向量.知新益能 大小方向2向量的表示方法 方向始点终点同向且等长向量ABa、b、c思考感悟1.向量与有向线段有什么区别？提示：(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点
2、不同，即使大小、方向相同，也是不同的有向线段 3向量的长度(模)如果AB a，那么AB 的_表示向量 a 的大小，也叫做 a 的长(或模)，记作|a|.4与向量有关的概念(1)零向量：_的向量，记作 0.(2)向量共线或平行基线：通过_，叫做向量AB 的基线如果向量的基线_，则称这些向量共线或平行，共线向量的方向_向量 a 平行于 b，记作_.(3)相等向量：两个向量 a 和 b_，即 a 和 b相等，记作 ab.长度长度等于0有向线段AB 的直线互相平行或重合同向且等长相同或相反ab2把有向线段AB 向右平移 1 个单位，向上平移 2个单位，得到有向线段AB，则AB 与AB表示的向量一样吗？
3、思考感悟提示：平移前的有向线段与平移后的有向线段在长度和方向上都没发生改变，也就是说它们的大小和方向相同，所以它们表示的向量一样 3向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A、B、C、D必在同一条直线上，正确吗？提示：不正确共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A、B、C、D不一定共线 5位置向量任给一定点 O 和向量 a，过点 O 作有向线段OA a，则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a 所_，这时向量OA 叫做点 A 相对于点O 的位置向量唯一确定课堂互动讲练 考点突破 向量的概念数学中研究的向量是自由向量，即向量的长度与方向与起点的位置无关，所以要严格区分平行向量与平行线
4、，共线向量与多点共线，两者不能混为一谈 下列关于向量的说法正确的个数是()起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；起点相同，相等的两个非零向量的终点相同；两个平行的非零向量的方向相同；两个共线的非零向量的起点与终点一定共线 A3 B2 C1D0 例1【思路点拨】解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小与方向两个要素【解析】起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故不正确；起点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故不正确【答案】C【点评】对于概念性题目
5、，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线，向量相等的概念，清楚它们的区别与联系 变式训练1 给出下列几种说法：若非零向量a与b共线，则ab；若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；若两向量有相同基线，则两向量相等 其中错误的序号是_ 解析：错误共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等 错误向量是既有大小，又有方向的量，不能只比较大小 错误两向量有相同基线表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同 答案：向量的表示方法有几何表示法和字母表示法，几何表示法的优点是便于用向量处理几何问题，字母表示法的优点是便于向量的运算向量的表示在如
6、图所示的坐标纸中，画出下列向量(1)|OA|3，点 A 在点 O 正西方向；(2)|OB|3 2，点 B 在点 O 北偏西 45方向例2【思路点拨】先定方向，再由长度定终点，最后标箭头方向【解】(1)(2)如图，【点评】画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定终点，标出箭头方向 变式训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使ba；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|2，并说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图(2)由平面几何知识可作满足条
7、件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图 相等向量与共线向量共线向量的方向相同或相反相等向量一定是共线向量，共线向量不一定是相等向量 判断两向量的关系时一要看向量的长度，二要看向量的方向 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且OA a，OB b，OC c.(1)与 a 的模相等的向量有多少个？(2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与 a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量例3【思路点拨】借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断【解】(1)与 a 的模相等的向量有 23 个(2)与 a 的长度相等且方向相反的向
8、量有OD，BC，AO，FE.(3)与 a 共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(4)与 a 相等的向量有EF，DO，CB；与 b 相等的向量有DC，EO，FA；与 c 相等的向量有FO，ED，AB.【点评】(1)向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来(2)零向量是共线向量判定的一个盲点，要特别注意 变式训练 3 七巧板，也称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具现在的七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示试写
9、出图中与DG、FE 模长相等的向量解：与DG 模长相等的向量有：GD、GO、OG、OH、HO、HB、BH、FI、IF、IE、EI、FG、GF、IO、OI共 15 个；与FE 模长相等的向量有：EF、DO、OD、GH、HG、OB、BO、AO、OA 共 9 个1向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的2平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关3规定零向量与任何向量平行，由于零向量的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向量为零的情况方法感悟