1、21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义2能利用归纳和类比进行简单推理3体会并认识合情推理在数学发现中的作用课前自主学案 温故夯基 找规律，填空：数列1，aa2，a2a3a4，_.a3a4a5a6知新益能 1推理 从一个或几个_得出另一个_的思维过程称为推理任何推理都包含_和_两个部分前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据_推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么 已知命题新命题前提结论前提2归纳推理(1)从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_其思维过程大致为实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)归纳推理的特点归纳推理的前
2、提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围归纳推理由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为_的工具 归纳推理是一种具有创造性的推理通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题 数学证明3类比推理根据_(或_)对象之间在某些方面的_或_，推演出它们在其他方面也_或_，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程大致为：观察、比较_、_ 猜测新的结论两个两类相似相同相似相同联想类推4合情推理 合情推理是根据_、_、_，以及个人的_等推 测 某 些 结 果 的 推
3、理 过 程 _ 和_都是数学活动中常用的合情推理 已有的事实正确的结论实验和实践的结果经验和直觉归纳推理类比推理1进行归纳推理的前提条件是什么？提示：若干个特殊的结论具有相同的形式和结论，可以进行归纳，推广到所有的一般情况时可进行归纳推理 2什么情况下可以进行类比推理？提示：当两类(或两个)不同对象具有某些类似特征时，可用类比推理，如平面中的圆与空间中的球，具有类似性质等 问题探究 课堂互动讲练 归纳推理的应用考点突破 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，虽然结论不一定正确，但对于发现问题的结论和探索解题的思路有很大的作用例1对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系【思路点拨】给
4、n从小到大赋值 计算各式的值比较大小 归纳猜想【解】当n1时，2112；当n2时，2222；当n3时，2352；当n6时，2662.归纳猜想，当n3时，2n0)，观察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)f(f1(x)x3x4，f3(x)f(f2(x)x7x8，f4(x)f(f3(x)x15x16，解析：依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an2n1，又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16，故其通项公式为 bn2n.所以，当 n2 时，fn(x)f(fn1(x)x2n1x2n.根据以上事实，由归纳推理可得：当n
5、N*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案：x2n1x2n类比推理是从特殊到特殊的一种推理方式，它的思维过程大致为：观察、比较 联想、类推猜测新的结论类比推理的应用平面中的三角形和空间中的四面体有着很多相类似的性质例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)S12底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；(4)三角形的面积 S12(abc)r(r 为三角形内切圆的半径)请类比以上性质，写出空间四面体的相关结论例2【思路点拨】关键要找出平面三角形中的元素所对应的空间四面体的相应元素【解】根据三角形的性质，可类比得到空间四面体的相关性质：(1)四面体任意三个面的面积
6、之和大于第四个面的面积；(2)四面体体积 V13底面积高；(3)四面体的中截面的面积等于第四个面面积的14，且平行于第四个面；(4)四面体的体积 V13(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)【名师点评】由平面几何的问题类比空间几何的问题一般需掌握以下两点：(1)点对应线，线对应面，长方形对应长方体，三角形对应四面体，圆对应球等(2)边只对应面积；面积对应体积；平面角对应二面角 变式训练2 在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应的，在等比数列bn中，若b91，则有什么样的等式
7、成立？解：在等差数列an中，a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又由a100，得a1a19a2a18ana20n an1a19n2a100，a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n.若a90，同理可得，a1a2ana1a2a17n(n17，nN*)，相应的，在等比数列bn中，若b91，则可得b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)合情推理是指“合乎情理”的推理，它包括归纳推理与类比推理，归纳、类比推理可在结论、条件不确定的时候发挥作用，使目标清晰化合情推理的应用(本题满分14分)我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
8、(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明(3)在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.例3【思路点拨】可先据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和【规范解答】(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.4分(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等.6分(3)当 n 为奇数时，令 n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k12k22(ab)an12
9、(ab)an12 an12 b.10 分当 n 为偶数时，令 n2k，kN*，则 SnS2kk(ab)n2(ab)12 分所以它的前 n 项和 Snn12 an12 b，n为奇数，n2ab，n为偶数.14 分【名师点评】本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性 变式训练 3 如图(1)所示，已知 O 是ABC 内任意一点，连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A、B、C，则OAAAOBBBOCCC1这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：OAAA OBBB OCCC SOBCSABC SOCASABC SOABSABC SABCSABC1.(1)请运用类比推
10、理，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明解：如图(2)所示，在四面体 VBCD 中，任取一点 O，连结 VO、DO、BO、CO，并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点，则OEVEOFDFOGBGOHCH1.证明：在四面体 OBCD 与 VBCD 中，OEVEh1h 13SBCDh113SBCDhVOBCDVVBCD.(2)同理有：OFDFVOVBCVDVBC，OGBGVOVCDVBVCD，OHCHVOVBDVCVBD，OEVEOFDFOGBGOHCHVOBCDVOVBCVOVCDVOVBDVVBCDVVBCDVVBCD1.方法感悟 1在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系 2类比推理时，把两类对象之间的某种一致性确切地表达出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性说清楚，同时注意元素的变化，如面积到体积、平面到空间等 3做推理判断题时，最忌讳的是主观臆断，盲目推理，我们不能只注意表象，而要究其本质，要结合所得到的信息做出合理的判断，正确的决定