1、第二章 参数方程3 参数方程化成普通方程参数方程化为普通方程参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：(1)代数法消去参数代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程(2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角
2、函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程 1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用()(2)将普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一条曲线的参数方程会有不同的形式()(3)(为参数)化成普通方程为(x3)2(y2)21()(4)(t为参数，t2)化成普通方程为x2y24()答案(1)(2)(3)由已知由三角恒等式cos2sin21，可知(x3)2(y2)21，这就是它的普通方程(4)t2，2x2，2y0，普通方程是x2y24(2x2，2y0)2做一做(1)参数方程(为参数)表示的曲线是()A直线 B圆 C线段 D射线答案C解析xcos2
3、0，1，ysin20，1，xy1，(x0，1)为线段(2)将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2 Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)答案C解析代入法，将方程化为yx2，但x2，3，y0，1，故选C(3)参数方程(为参数)所表示的曲线的普通方程为_答案y2x21(1x1)解析由于cos212sin2，故y12x2，即y2x21(1x1)(4)将参数方程(t为参数)化为普通方程为_答案x2y2(y2)解析yt222x22又yt22，故所求普通方程为x2y2(y2)探究把参数方程化为普通方程例1将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线(1)(t为参数)；(2)(t为参数，
4、0t)；(3)(为参数)解(1)由已知t，代入y4t中，得4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线(2)0t，1cost1，0sint13x5，2y2，(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16(x1)2(y2)216(3x5，2y2)，它表示的曲线是以(1，2)为圆心，半径为4的上半圆(3)由y1cos2可得y2sin2，把sin2x2代入y2sin2可得y2(x2)，即2xy40，又2x2sin23，所求的方程是2xy40(2x3)，它表示的是一条线段(1)将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减消元法如果参数方程是分式方程，在运用代入
5、消元或加减消元之前做必要的变形另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2cos21，(exex)2(exex)24，221等(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性【跟踪训练1】将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(为参数)解(1)由x11，有x1，代入y12，得y2x3(x1)，这是以(1，1)为端点的一条射线(2)由得22得1探究把曲线的普通方程化为参数方程例2根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1)1，xcos1(为参数)；(2)x2yx10，xt1(t
6、为参数)解(1)将xcos1代入1，得y2sin(为参数)这就是所求的参数方程(2)将xt1代入x2yx10，得yx2x1(t1)2t11t23t1(t为参数)这就是所求的参数方程普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价参数的选取不同，得到的参数方程是不同的如本例(2)，若令xtan(为参数)，则参数方程为(为参数)【跟踪训练2】求方程4x2y216的参数方程：(1)设y4sin，为参数；(2)若令yt(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解(1)把y4sin代入方程，得到4x216sin216
7、，于是4x21616sin216cos2，x2cos4x2y216的参数方程是和(为参数)(2)将yt代入椭圆方程4x2y216，得4x2t216，则x2x因此，椭圆4x2y216的参数方程是和(t为参数)同理将x2t代入椭圆4x2y216，得椭圆的参数方程为 和(t为参数)探究参数方程的应用例3已知动点P，Q都在曲线C：(为参数)上，对应参数分别为与2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解(1)依题意有P(2cos，2sin)，Q(2cos2，2sin2)，因此M(coscos2，sinsin2)M的轨迹的
8、参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标顶点的距离d(00，那么直线xcosysinr与圆(是参数)的位置关系是()A相交 B相切C相离 D视r的大小而定答案B解析化圆的参数方程为x2y2r2圆心为(0，0)，它到直线xcosysinr的距离为r直线与圆相切4若直线yxb与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数b的取值范围是_答案(，1解析曲线表示圆x2y21(0x1，1y1)的右半部分， 结合图形易得直线yxb与该曲线有两个不同的交点时，b的范围是b15指出下列参数方程表示什么曲线(1)(0)；(2)(t2)解(1)由得x2y29又0，3x3，0y3所求方程为x2y29(0y3)这是一个半
9、圆(圆x2y29在x轴上方的部分)(2)由得1t2，2x2，3y0所求方程为1(3y0)它表示半个椭圆椭圆1在x轴下方的部分A级：基础巩固练 1参数方程(0t5)表示的曲线是()A线段 B双曲线的一支C圆弧 D椭圆答案A解析消去t，得x3y500t5，1y242参数方程(为参数)的普通方程为()Ay2x21Bx2y21Cy2x21(|x|)Dx2y21(|x|)答案C解析x2sincos21siny22sin，y2x21又xsincossin，即|x|故应选C3已知直线l：(t为参数)与圆C：(为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是()A，(1，0) B，(1，0)C，(1，0)
10、D，(1，0)答案C解析根据加减消元法和三角恒等式消去参数，再求直线的倾斜角和圆心坐标因为直线l的普通方程为yx，所以其斜率是1，倾斜角是将圆的参数方程化为普通方程得(x1)2y24，所以圆心C的直角坐标是(1，0)，故选C4已知圆的方程为(x1)2(y2)24，那么该圆圆心到直线(t为参数)的距离为()A B C D答案C解析依题意得圆心坐标是(1，2)，直线方程是xy20，因此圆心到直线xy20的距离为d，故选C5参数方程(t为参数)与极坐标方程sin所表示的图形分别是()A直线、直线 B直线、圆C圆、圆 D圆、直线答案B解析参数方程(t为参数)化为普通方程为2xy50，表示的图形是直线极
11、坐标方程sin化为直角坐标方程为x2y2y0，表示的图形是圆6椭圆(为参数)的焦点坐标为() A(2，0)，(2，0) B(0，2)，(0，2)C(0，4)，(0，4) D(4，0)，(4，0)答案D解析利用平方关系化为普通方程1，c216，c4，焦点在x轴上，焦点为(4，0)，(4，0)，故选D二、填空题7参数方程(为参数)所表示的曲线的普通方程为_答案y2x21(1x1，1y1)解析ycos21sin2 12x2，y2x21(1x1，1y1)8在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)(为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_答案(1，1)解析C1的普通方程为y2
12、x(x0，y0)，C2的普通方程为x2y22由得C1与C2的交点坐标为(1，1)9在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_答案3解析直线l：消去参数t后得yxa椭圆C：消去参数后得1又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入yxa得a3三、解答题10在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点C的坐标解直线l的参数方程为消去参数t后得直线的普通方程为2xy20，同理得曲线C的普通方程为y22x，联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，111已知曲线C：(
13、为参数)，直线l：(cossin)12(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值解(1)依题意可得直线l的直角坐标方程为xy120，曲线C的普通方程为1(2)设P(3cos，sin)，则点P到直线l的距离d，故当cos1时，dmin3B级：能力提升练在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(ab0，为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1，C2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合(1)分别说明C1，C2是什么曲线，
14、并求出a与b的值；(2)设当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积解(1)C1是圆，C2是椭圆当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1(2)C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为x当，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形故四边形A1A2B2B1的面积为