1、宜昌一中 2016届高三年级12月月考数学试题（理） 命题人： 杨天文 审题人： 钟卫华本试卷共 4 页，共 24 题 满分150分，考试用时120分钟。一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上）1已知复数（i为虚数单位），则 ( )A B C D 2等差数列的前项和为，且，则（ ）A B C D3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A B C D4下列说法中，不正确的是（ ）A已知，命题“若，则”为真命题；B命题“”的否定是：“”；C命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题
2、；D“”是“ ”的充分不必要条件.5.已知时，则 ( )A 0.043 B 0.0215 C 0.3413 D 0.47726已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ）A B C D7设满足约束条件若目标函数的最大值为10，则的最小值为（ ）A B 5 C 25 D 248函数在时的切线和x轴交于，若，则数列的前n项和为（ ）A. B. C. D. 9如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是 ( )(1) ACBE；(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为；(3
3、) 三棱锥A-BEF的体积为定值；(4) 在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条.A0 B1 C2 D310已知为的外心，若，且，则（ ）。A B C D11.已知集合M1，2，3，N1，2，3，4，定义函数f：MN.若点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，ABC的外接圆圆心为D，且(R)，则满足条件的函数f(x)有()A6个 B10个 C12个 D16个12已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合 .14.三角形ABC的内角A,B的对边分别为，若
4、，则三角形ABC的形状为_ _. 15.设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 16.定义：，其中是虚数单位，且实数指数幂的运算性质对都成立.若，则 （结果用复数的代数形式表示） 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：求，的值及函数的表达式；若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.18（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，是的中
5、点(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由19（本题满分12分）我市在夜明珠与黄柏河交汇形成的平湖水面上修建”三峡游轮中心”.其中有小型游艇出租给游客游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，且两人租用的时间都不超过4小时（）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望20（本题满分12分）
6、中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过两点.分别过椭圆的焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、满足（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由21（本题满分12分）已知函数有且只有一个零点，其中a0. （）求a的值； （）若对任意的，有成立，求实数k的最大值； （III）设，对任意，证明：不等式恒成立.请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. （本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线A
7、B为圆的切线，切点为B，点C在圆上，锐角ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.（）证明：DB=DC； （）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径.23. （本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（）求的直角坐标方程； （）设直线与曲线交于两点，求弦长.24. （本题满分10分）选修45:不等式选讲对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是.（）求的值; （）解不等式.宜昌一中 2016届高三年级12月考试数学（理）参
8、考答案ADBCB ABDAB CC13. 14. 等腰三角形或直角三角形 15. 92 16. 9分11分的取值范围为 分18. (1)证明由已知，MNADBC，连结BN，设CM与BN交于F，连结EF，如图所示又MNADBC，所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点又E是AB的中点，所以ANEF. 5分因为EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC. 6分(2)法一：如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为.延长DA，CE交于点Q，过A作AHEQ于H，连结PH.因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，所以MA平面ABCD，又CQ平面ABCD，所以M
9、AEQ，又MAAHA，所以EQ平面PAH，所以EQPH，PHA为二面角PECD的平面角由题意，知PHA.在QAE中，AE1，AQ2，QAE120，则EQ，所以AH.又在RtPAH中，PHA，则APAHtan 301.所以在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，此时AP的长为.12分法二：空间向量法 建系并写出点的坐标 2分 法向量过程2分 公式求解得答案2分19解： （1）甲、乙所付费用可以为、元、元1分 甲、乙两人所付费用都是元的概率为2分甲、乙两人所付费用都是元的概率为3分甲、乙两人所付费用都是元的概率为 故甲、乙两人所付费用相等的概率为5分（2）随机变量的取值可以为6分 故的分布
10、列为： 11分的数学期望是 12分20解：（1）设椭圆的方程为1分将代入有3分 椭圆E的方程为4分（2）焦点、坐标分别为(1，0)、(1，0)当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0) 当直线l1、l2斜率都存在时，设斜率分别为，设，由得：， ， 6分， 同理 ， ，即由题意知， 9分设，则，即，10分由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0)也满足此方程，点椭圆上，11分 存在点M、N其坐标分别为，使得为定值12分21解：（）的定义域为，由，得. 当时，；当时， 在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在处取得最大值由题意知，解得3分（）由（）知=ln(x+1)-x，当k0时，取x=1得，知k0不合题意.当时，设.则.令，得，.若0，即k-时，在上恒成立， 在上是增函数，从而总有，即在上恒成立.若，即时，对于， 在上单调递减.于是，当取时，即不成立.故不合题意.综上，的最大值为. 7分（） 由不妨设，则要证明， 只需证明，即，即证 设，则只需证明，化简得设，则， 在上单调递增， 即，得证故原不等式恒成立12分