1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1已知集合A=x|1x2，B=x|x1，则AB=（）A（1，1B（1，2）CD1，22直线y=2x+3与直线y=kx5互相垂直，则实数k的值为（）AB2C2D13已知等比数列an的各项均为正数，且a2， a3，2a1成等差数列，则该数列的公比为（）A1+B1C1D14设ab0，cR，则下列不等式恒成立的是（）Aa|c|b|c|Bac2bc2Ca2cb2cD5设等差数列an的前n项和为Sn，
2、若a4=9，a6=11，则S9等于（）A180B90C72D106将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD7在ABC中，若=2，则ABC的形状是（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D不能确定8设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm9设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A，17B1，17C1，D，10已知函数f（x）=sin（2x+）（xR），下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）是偶函数C函数f（x）的图象关于
3、直线对称D函数f（x）在区间0，上是增函数11设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）12在ABC中，C=，B=，AC=2，M为AB中点，将ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥MABC的外接球的表面积为（）A12B16C20D32二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13点（1，2）到直线y=x的距离是_14已知关于x的不等式2x2+mx+n0的解集为1，则m+n=_15已知ABC是边长为1的正三角形
4、，动点M在平面ABC内，若，则的取值范围是_16函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”下列命题正确的是_“囧函数”的值域为R； “囧函数”在（0，+）上单调递增；“囧函数”的图象关于y轴对称； “囧函数”有两个零点；“囧函数”的图象与直线y=kx+b（k0）的图象至少有一个交点三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若不等式f（x）m有解，求实数m的取值范围18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcos C=3（I）求b；（）若AB
5、C的面积为，求c19如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC（1）求证：AD1平面A1DC；（2）求MN与平面ABCD所成的角20在等差数列an中，a1=1，又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列（）求数列an的公差；（）设bn=，求数列bn的前n项和21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点（）证明：EF平面PAD；（）求二面角BPDC的正切值22过点O（0，0）的圆C与直线y=2x8相切于点P（4，0）（1）求圆C的方程；（2）在圆C上是否存在两点M，N
6、关于直线y=kx1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1已知集合A=x|1x2，B=x|x1，则AB=（）A（1，1B（1，2）CD1，2【考点】交集及其运算【分析】直接利用交集的求法，求解即可【解答】解：集合A=x|1x2，B=x|x1，则AB=x|1x2故选：B2直线y=2x+3与直线y=kx5互相垂直，则实数k的值为（）A
7、B2C2D1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】直接利用直线的垂直关系求解即可【解答】解：直线y=2x+3与直线y=kx5互相垂直，可得k=故选：A3已知等比数列an的各项均为正数，且a2， a3，2a1成等差数列，则该数列的公比为（）A1+B1C1D1【考点】等比数列的性质【分析】利用各项均为正数的等比数列an，a2， a3，2a1成等差数列，建立方程，即可求出等比数列an的公比【解答】解：设等比数列an的公比为q，则各项均为正数的等比数列an，a2， a3，2a1成等差数列，a3=a2+2a1，q22q1=0，q0，q=1+，故选：A4设ab0，cR，则下列不等式恒成立的是（）
8、Aa|c|b|c|Bac2bc2Ca2cb2cD【考点】不等式的基本性质【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，对各选项中的不等式进行判定即可【解答】解：ab0，cR，A中，c=0时，a|c|b|c|不成立；B中，c=0时，ac2bc2，不成立；C中，当c0时，a2cb2c不成立；D中，由ab0，两边同时除以ab，得到，D成立故选：D5设等差数列an的前n项和为Sn，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A180B90C72D10【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求【解答】解：
9、a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B6将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合故选D7在ABC中，若=2，则ABC的形状是（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角
10、形D不能确定【考点】余弦定理【分析】利用正弦定理与余弦定理即可化简得出【解答】解：=2，=2，a=2c，化为：c2=b2，解得b=c则ABC的形状是等腰三角形故选；C8设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm【考点】直线与平面平行的判定【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断C：根据线面平行的判定定理判断D：由线线的位置关系判断B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l，m，则lm或两线异面，故不正
11、确D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面故正确故选B9设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A，17B1，17C1，D，【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得【解答】解：由题意作平面区域如下，x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，2）与阴影内的点的距离的平方，而点A到直线y=x1的距离d=，B（1，2），故|AB|=，故（）2x2+（y+2）2（）2，即x2+（y+2）217，故选：
12、A10已知函数f（x）=sin（2x+）（xR），下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）是偶函数C函数f（x）的图象关于直线对称D函数f（x）在区间0，上是增函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性【分析】函数=cos2x分别求出的周期、奇偶性、单调区间、对称中心，可得A、B、D都正确，C错误【解答】解：对于函数=cos2x，它的周期等于，故A正确由于f（x）=cos（2x）=cos2x=f（x），故函数f（x）是偶函数，故B正确令，则=0，故f（x）的一个对称中心，故C错误由于0x，则02x，由于函数y=cost在0，上单调递减故y=cost在0，上单调
13、递增，故D正确故选C11设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆相切，圆心到直线
14、的距离d=1，整理得：m+n+1=mn，设m+n=x，则有x+1，即x24x40，x24x4=0的解为：x1=2+2，x2=22，不等式变形得：（x22）（x2+2）0，解得：x2+2或x22，则m+n的取值范围为（，222+2，+）故选D12在ABC中，C=，B=，AC=2，M为AB中点，将ACM沿CM折起，使A，B之间的距离为2，则三棱锥MABC的外接球的表面积为（）A12B16C20D32【考点】球内接多面体【分析】由已知中得MA=MB=MC=2，求出球半径后，代入球的表面积公式，可得答案【解答】解：RtABC中，AB=4，又M为AB的中点，MA=MB=MC=2，三棱锥MABC外接球的半
15、径R=2，则外接球的表面积为4R2=16，故选：B二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13点（1，2）到直线y=x的距离是【考点】点到直线的距离公式【分析】直接利用点到直线的距离公式即可求出答案【解答】解：点（1，2）到直线y=x的距离是的距离d=故答案为：14已知关于x的不等式2x2+mx+n0的解集为1，则m+n=0【考点】一元二次不等式的解法【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系即可得出【解答】解：关于x的不等式2x2+mx+n0的解集为1，1+=，1=，m=1，n=1m+n=0故答案为：015已知ABC是边长为1
16、的正三角形，动点M在平面ABC内，若，则的取值范围是1，）【考点】平面向量数量积的运算【分析】以以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，求出点的坐标以及相应向量的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，结合圆的性质，条件即可得到计算得到【解答】解：以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，则A（，0），B（，0），C（0，），设M（x，y），由|=1，可得x2+（y）2=1，即有1x1，又=（x+，y），=（1，0），=（x，y）由，可得x+0，即有x，由可得1x则=x1+（y）0=x，则所求范围为1，）故答案为：1，）16函数的图象形
17、如汉字“囧”，故称其为“囧函数”下列命题正确的是“囧函数”的值域为R； “囧函数”在（0，+）上单调递增；“囧函数”的图象关于y轴对称； “囧函数”有两个零点；“囧函数”的图象与直线y=kx+b（k0）的图象至少有一个交点【考点】命题的真假判断与应用【分析】先判断函数为偶函数，再令a=b=1，得到特殊的函数，利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，利用数形结合的方法进行判断；【解答】解：（1）由题意，f（x）=f（x），是偶函数；当a=b=1，时则f（x）=，其函数的图象如图：其函数的图象如图：，其函数的图象如图：如图y0，值域肯定不为R，故错误；如图显然f（x）在（0，+）上不是单
18、调函数，故错误；f（x）是偶函数，关于y轴对称，故正确；如图f（x）0，没有零点，故错误；如图可知函数f（x）的图象，x=1换为x=a，在四个象限都有图象，此时与直线y=kx+b（k0）的图象至少有一个交点故正确；故答案为：；三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若不等式f（x）m有解，求实数m的取值范围【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；对数函数的定义域【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量x取值范围，我们
19、可以构造关于自变量x的不等式，解不等式即可得到答案【解答】解：（1）要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：，可得2x2故函数f（x）=lg（2+x）+lg（2x）的定义域为（2，2）（2）不等式f（x）m有解，mf（x）max，令t=4x2，2x2，0t4，y=lgx，为增函数，f（x）的最大值为lg4，m的取值范围为mlg418在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcos C=3（I）求b；（）若ABC的面积为，求c【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由正弦定理得sinC=cosC，可得C=45，由bcosC=3，即可求得b的值（）由S=acsinB=，csi
20、nB=3，可求得a，据余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=25，即可求得c的值【解答】解：（）由正弦定理得sinCsinB=sinBcosC，又sinB0，所以sinC=cosC，C=45因为bcosC=3，所以b=3（）因为S=acsinB=，csinB=3，所以a=7据余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=25，所以c=519如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC（1）求证：AD1平面A1DC；（2）求MN与平面ABCD所成的角【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用正方体中的棱与面的关系可得
21、CD平面ADD1A1，进一步得到CDAD1，再结合AD1A1D，运用线面垂直的判定得答案；（2）由已知MN平面A1DC结合（1）的结论可得AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，进一步可得D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，则答案可求【解答】（1）证明：由ABCDA1B1C1D1为正方体，得CD平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，CDAD1，又AD1A1D，且A1DCD=D，AD1平面A1DC；（2）解：MN平面A1DC，又由（1）知AD1平面A1DC，MNAD1，AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，D1D平面ABCD，D1AD即为A
22、D1与平面ABCD所成的角，由正方体可知，MN与平面ABCD所成的角为20在等差数列an中，a1=1，又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列（）求数列an的公差；（）设bn=，求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】（）设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式求出an，由等比中项的性质列出方程，求出d的值；（）由（）求出an，代入bn=化简，由裂项相消法求出数列bn的前n项和【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，因为a1=1，所以an=1+d（n1）又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，则所以（1+d）2=1（1+4d），解得d=2或d=0（舍 （）由（
23、）得，an=1+2（n1）=2n1，所以则21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点（）证明：EF平面PAD；（）求二面角BPDC的正切值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定【分析】（）利用线面平行的判定定理证明EFPA，即可（）建立空间直角坐标系，利用向量求二面角BPDC的正切值【解答】解：方法1：（）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点F为AC中点又E是PC中点，在CPA中，EFPA且PA平面PAD，EF平面PADEF平面PAD（） 解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EMPD
24、易知EF面PDC，EFPD，PD面EFM，PDMFEMF是二面角BPDC的平面角RtFEM中，所以故所求二面角的正切值为方法2：另解：如图，取AD的中点O，连结OP，OFPA=PD，POAD侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，OFAB，又ABCD是正方形，故OFAD，PAPD，以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，则有，E为PC的中点，（）易知平面PAD的法向量为而，且，EF平面PAD（），从而PACD，又PAPD，PDCD=D，PA平面PDC，而PA平面PAD，平面PDC平面PAD，所以平面PDC
25、的法向量为设平面PBD的法向量为，由可得，令x=1，则y=1，z=1，故，即二面角BPDC的余弦值为，二面角BPDC的正切值为22过点O（0，0）的圆C与直线y=2x8相切于点P（4，0）（1）求圆C的方程；（2）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由【考点】关于点、直线对称的圆的方程；点与圆的位置关系【分析】（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx1对称，则y=kx1
26、通过圆心C（2，1），求得k=1，设直线MN为y=x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及=0，求得b的值，可得结论【解答】解：（1）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），半径为，所以圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5（2）假设存在两点M，N关于直线y=kx1对称，则y=kx1通过圆心C（2，1），求得k=1，所以设直线MN为y=x+b，代入圆的方程得2x2（2b+2）x+b22b=0设M（x1，x1+b），N（x2，x2+b），又=x1x2+（bx1）（bx2）=2x1x2b（x1+x2）=b23b=0，解得b=0或b=3，这时0，符合条件，所以存在直线MN，它的方程为 y=x，或y=x+3符合条件2016年9月23日