1、第九单元 圆锥曲线与方程 知识体系2011年考试说明 内 容 要 求 A B C 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 最新考纲第一节 椭圆(1)1.椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于_的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_需要注意的是：若常数等于F1F2，则轨迹是_；若常数小于F1F2，则_常数(大于F1F2)焦点焦距线段F1F2 无轨迹2.椭圆的标准方程：焦点在x轴上：_；焦点在y轴上：_.求椭圆的标准方程时，要根据题意设出椭圆的标准方程，再通过解方程
2、组求解，如果焦点位置不确定，则需要对焦点位置进行讨论222210 xyabab222210yxabab3.图象可以帮助我们直观地解题，所以一般情况下，需要根据题意正确地画出图形如图4.根据焦点在分母_的坐标轴上判断焦点所在的轴，同样，由方程写焦点时，也是首先判断焦点所在的轴求椭圆焦点坐标时，要先将椭圆方程化为标准方程，再判断焦点位置：焦点在x轴上时，两焦点坐标分别为_；焦点在y轴上时，两焦点坐标分别为_较大F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)1.圆3x22y26的焦点坐标_(0，1)，(0,1)基础梳理解析：将椭圆方程化为标准方程为+=1，焦点在y轴上，故焦点坐标为(0
3、，-1)，(0,1)22x23y2.椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k等于_1解析：椭圆的标准方程是+x2=1，则-1=4，解得k=1.25yk5k3.已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_3,11,2 解析：焦点在y轴上，解得m-1或1m4，则m-4=1，解得m=5；若0mb0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是_变式1122221xyab解析：由平面几何知|PO|MF2|，|PF1|MF1|，|MF1|MF2|2a，所以|PO|PF1|a|F1O|c，由椭圆定义知P点的轨迹是椭圆1212【例2】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上
4、，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程分析：方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c，然后求b.题型二 椭圆标准方程及其求解解：方法一：设椭圆的标准方程是(ab0)或(ab0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2aPF1PF22 ，a.在方程中，令xc，得|y|；在方程中，令yc，得|x|.依题意知，b2.即椭圆的方程为或.22221xyab22221yxab5522221xyab22221yxab2ba2ba2ba2531032231510 xy223
5、1510yx方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则PF1，PF2.由椭圆的定义，知2aPF1PF22 ，即a.由PF1PF2知，PF2垂直于长轴故在RtPF2F1中，4c2PF12PF22，c2，于是b2a2c2.又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1 或1.4 532 53556092035310325x2310y2310 x25y已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a3b，求椭圆的标准方程变式21解：当焦点在x轴上时，设其方程为1(ab0)，由椭圆过点P(3,0)，知1，又a3b，代入得b21，a29，故椭圆的方程为y21.22xa22yb29a2
6、9x当焦点在y轴上时，设其方程为1(ab0)，由椭圆过点P(3,0)，知1，又a3b，代入得b29，a281，故椭圆的方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为 y21或1.22ya22xb29b29x281y29x29x281y【例3】(2011皖南八校联考)已知圆C：(x4)2(ym)216(mN*)，直线4x3y160过椭圆E：1(ab0)的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上求m的值及椭圆E的方程22xa22yb325(1)因为直线4x3y160交圆C所得的弦长为，所以圆心C(4，m)到直线4x3y160的距离等于，即，所以m4或m4(舍去)又因为直线4x3y160过椭圆E
7、的右焦点，所以右焦点坐标为F2(4,0)，则左焦点F1的坐标为(4,0)，因为椭圆E过点A，所以|AF1|AF2|2a|，所以2a5 6 ，a3 ，a218，b22，故椭圆E的方程为1.325216425125|44316|5m 1252222218x22y1.(2010浙江)已知m1，直线l：xmy0，椭圆C：y21，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程知识准备：1.根据椭圆方程确定焦点位置；2.利用椭圆中基本量的运算a2b2c2求出c，进而求出焦点坐标；3.会解关于m的方程，并且根据题意适当取舍链接高考22m22xm解：因为m1，所以该椭圆焦点在x轴上
8、，且a2m2，b21由a2b2c2，得c，所以右焦点F2(，0)，代入直线l：xmy0得，两边平方并化简得m44m240，解得m22，又因为m1，所以m，故直线l的方程为xy10.21m 21m 22m21m 22m222.(2010福建改编)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的方程知识准备：1.会设焦点在x轴上的椭圆的标准方程；2.会求两点间距离；3.知道椭圆中基本量的运算a2b2c2.解：(1)依题意，椭圆C的焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)，椭圆经过点A(2,3)，由椭圆定义得2a|AF|AF|3358，所以a4，又c2，所以b2a2c2422212，故椭圆C的方程为1.22xa22yb42 32216x212y
