1、娄底市第一中学高一年级2021年上学期数学期中试题 (时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1计算（）ABCD2设、表示两条不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题中错误的是（ ）A，则B，则C，则 D，则3.复数z11i和z21i在复平面内的对应点关于（ ）A实轴对称 B一、三象限的平分线对称C虚轴对称 D二、四象限的平分线对称4已知，均为单位向量，它们的夹角为60，那么等于（ ）A B C D45如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）A平面PAB平面PAD B平面PAD平面PDC C
2、ABPD D平面PAD平面PBC6.在平行四边形中，是的中点，则（）A1B2C3D47右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：/； 与成角；成异面直线且；所成角为其中正确的个数是 ABCD8如图，在正方体中，线段上有两个动点，若线段长度为一定值，则下列结论中错误的是（ ）A B平面C平面 D三棱锥的体积为定值二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9设向量，则下列结论正确的有（ ）A BC D与的夹角为10如图所示，四边形为梯形，其中，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）ABCD11在中，角A，B，C的对
3、边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的是（ ）A BC D的面积为612如图，在平面四边形中，分别是，的中点，将沿对角线折起至，使平面平面，则在四面体中，下列结论正确的是（ ）A平面 B异面直线与所成的角为C异面直线与所成的角为 D直线与平面所成的角为三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为_.14水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则的面积为_.15中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何
4、体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为_.16在正三棱锥中，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为_.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知，是同一平面内的三个向量，其中=（1,2）（1）若，且，求的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角18(12分)在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求（）的大小；（）的面积
5、 .条件：； 条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.19(12分)如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，,是的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.20 (12分)（1）如图1，在直角梯形中， ，梯形绕着直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；（2）有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干（如图2，底面处于水平状态），将容器放倒（如图3，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点F，E，分别为所在棱的中点，求图2中水面的高度. 21(12分)在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速
6、度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.21.(12分)如图，三棱柱中，在底面上的射影恰好是点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.娄底一中2021年高一第二学期期中数学测试卷答案(时间：120分钟满分：150分)一、单选题1 【答案】B【详解】试题分析：考点：复数运算2 【答案】D【详解】A选项中命题是真命题，可以推出；B选项中命题是真命题，可得出；C选项中命题是真命题，利用线面垂直的性质得到；D选项中命题是假命题，因为两直线平行或异面
7、故选D3【答案】A4【答案】C【详解】.故选：C5【答案】D【详解】平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，ADAB，AB平面PADABPD又AB平面PAB，平面PAB平面PAD故A，C正确同理可证平面PAD平面PDC故B正确D显然不正确故选：D6.【答案】C【详解】；故选C考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积运算7 【答案】A【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故错误；连接、将平移到，则与成角，故正确；同理成角，故错误；所成角不为，故错误，综上可得只有正确，故选A8 【答案】B【详解】对A，连接BD，底面ABCD是正方形，又平面ABCD，平面ABCD，
8、平面，平面，故A正确，不符合题意；对B，若平面，平面，但显然，所以平面不成立，故B错误，符合题意；对C，正方体中，平面ABCD平面，平面，平面ABCD，故C正确，不符合题意；对D，点A到平面BEF的距离也是点A到平面的距离，等于AC的一半，即三棱锥高为定值，而的边为定值，高为为定值，故体积为定值，故D正确，不符合题意.故选：B.二、多选题9 【答案】CD【详解】解：对于A，因为，所以，所以，所以A错误；对于B，由，得，而，所以与不共线，所以B错误；对于C，由，得，所以与垂直，所以C正确；对于D，由，得，而，所以，所以D正确，故选：CD10ABD【详解】，正确；，正确；，错误；，正确.故选：.1
9、1【答案】ABD【详解】因为，所以，所以，故A正确；因为，利用正弦定理可得，因为，所以，所以，即因为，所以，所以，又，所以，故B正确；因为，所以，所以，因为，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12 【答案】ABD【详解】对于A：因为E，F分别为和两边中点，所以，又平面，所以平面，故A正确；对于B：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；对于C：取边中点M，连接，则，所以或其补角为异面直线与所成角，又，即，故C错误；D：连接，可得，由面面垂直的性
10、质定理可得平面，连接，可得为与平面所成角，由，则直线与平面所成的角为30，故D正确故选：ABD【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角三、填空题13【答案】.【详解】，所以复数z的虚部为.故答案为：.14【答案】6【详解】解：由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示；
11、的面积为：.故答案为6.15【答案】【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得，圆锥的高为，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为.故答案为：.16【答案】【详解】设的中心为，连接，平面，面，又，平面，平面，又，平面.平面，为正三棱锥，两两垂直，故外接球直径为，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出，两两垂直，即可求出半径.四、解答题17 【答案】（1）=（2,4）或=（-2，-4）；（2）【详解】（1）；设，且，；k2；，或；（2），且； 0；又；与的夹角为【点睛】考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，根据向量坐标求向
12、量长度，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的范围，属于中档题.18【答案】（）（）.19.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）平面，.又是正方形，.，平面.平面，.又，是的中点，所以.又，平面.（2）在平面内过作交于，所以且平面，所以三棱锥的体积为.又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，三棱锥的体积等于.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于中档题.20 【答案】（1）；（2）9【详解】（1）依题意，旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的.由，可知，. 其表面积圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱下底面积 （2）F，E，分别为所在棱的中点，. 所
13、以棱柱的体积梯形BCFE， 设图2中棱柱水面的高度为h，则，即水面高度为9.【点睛】本题考查旋转体的概念，考查圆柱圆锥的侧面积公式，柱体的体积公式，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题21【答案】（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船解：（1）由题意可知，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得：，即，解得：，船在船的正西方向（2）由（1）知，设小时后缉私艇在处追上走私船，则，在中，由正弦定理得：，解得：，是等腰三角形，即缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题22（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）连接与相交于，连接由于，分别是，的中点，则因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，连接，则因为平面，所以又平面，所以平面又平面，所以平面平面，过作于因为平面，平面平面所以平面，连接，则即为与平面所成角设，易知，由，所以.【点睛】关键点睛：解决第一问的关键在于由中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明线面平行；解决第二问的关键在于由线面垂直找出线面角，再由直角三角形边角关系求出