1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。等差数列(习题课)关键能力合作学习类型一求等差数列的通项(数学运算)1若数列满足an1(nN*)，且a11，则a2 021()A1 010 B1 011 C2 020 D2 0212已知数列满足a2，a5a1，且0，nN*，则nN*时，使得不等式n100ana恒成立的实数a的最大值是()A19 B20 C21 D223已知数列为等差数列，Sn为其前n项和若a12 024，且3，则S2 021()A12 0212 B22 0212C32 0212 D42 0212【解析】1
2、.选B.由an1(nN*)，则an1an(nN*)，即an1an，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以ana1d1，所以a2 0211 011.2选B.因为0，nN*，所以，所以数列为等差数列，设其公差为d，由a2，a5a1可得2，5，所以，解得，所以dn，所以an，所以不等式n100ana即na对任意的nN*恒成立，又n220，当且仅当n10时，等号成立，所以a20，即实数a的最大值是20.3选D.因为数列为等差数列，Sn为其前n项和，a12 024，3，所以数列是以2 024为首项，3为公差的等差数列，所以2 02032 0242 020342 021，所以S2 02142 021
3、2.等差数列求通项的方法(1)基本量法：直接由已知条件计算数列的首项和公差，或任意项与公差，再写通项公式；(2)构造法：通过已知条件构造等差数列，即变形已知条件，产生符合等差数列定义的形式，得到项和公差，再写通项公式；(3)利用an和Sn的关系求通项或任意指定项【补偿训练】 1.已知Sn为等差数列的前n项和，a3S518，a6a33，则an()An1 Bn C2n1 D2n【解析】选B.因为a3S518，a6a33，所以，所以，所以an11n.2(2021天津高二检测)等差数列an的前n项和为Sn，若3S3S2S4，a12，则a5_【解析】设等差数列an的公差为d，因为3S3S2S4，a12，
4、可得3(63d)127d，解得d3，所以a5a14d24(3)10.答案：103等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_【解析】因为an是等差数列，所以am1am12am，由am1am1a0，得2ama0，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即38，即(2m1)238，解得m10.答案：10类型二求数列的前n项和(数学运算)角度1裂项与分组求和【典例】(1)求和：，n2，nN*.(2)求和：Sn1357(1)n(2n1).【思路导引】(1)将每一项的分母分解因式，再拆成两项的差；(2)注意n分奇数和偶数讨论【解析】(1)因为，所以原式(n2，nN
5、*).(2)当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.所以Sn(1)nn(nN*).裂项与分组求和方法求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项求和法通项中含有(1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和角度2绝对值数列|an|的前n项和【典例】若等差数列an的首项a113，d4，记Tn|a1|a2|an|，求Tn.【思路导引】写出通项公式，找出数列中正负分界的位置，分别讨论两段的求和【解析】因为a
6、113，d4，所以an174n.当n4时，Tn|a1|a2|an|a1a2anna1d13n(4)15n2n2；当n5时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a3a4)(a5a6an)S4(SnS4)2S4Sn2(15n2n2)562n215n.所以Tn绝对值数列求和方法等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|若原等差数列an中既有正项，也有负项，那么|an|不再是等差数列，求和关键是找到数列an的正负项分界点处的n值，再分段求和一般分前正后负和前负后正两种情况，通项公式也是写成分段函数的形式1已知数列1，4，7，10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.【解析】当n为偶数时，令n2k(kN*
7、)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1(kN*).SnS2k1S2ka2k13k(6k1).所以Sn2已知等差数列an中，Sn为数列an的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S216，S424，得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n(nN*).由an0，解得n5，则当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50，
8、故Tn类型三等差数列与实际问题(数学建模)【典例】周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄(均为正整数)之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人(均不到110岁)，他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为_【思路导引】设最小年龄者为n岁，年龄最大的两位老人的岁数分别为m，m1，由已知条件得出101m110，列出m与n的关系，从而求出n的
9、范围，由nN*可求得n的值，即可得解【解析】由题意可知，20位老人的年龄之和为23761 748(岁)，设最小年龄者为n岁，年龄最大的两位老人的岁数分别为m，m1，则100m1110，100m110，可得101m110，由题意可得mn2m12m18n1521 748，化简得m9n798，所以m7989n，则1017989n110，即6889n697，因为nN*，解得n77.答案：77实际问题中的等差数列与实际应用相结合的数列题型也是高考命题的一个方向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答我国
10、古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠(即金杖)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n段的重量为an斤(n1，2，15)，且a1a2a15，若bnan(其中表示不超过an的最大整数)，则数列的所有项的和为_【解析】由题意，由细到粗每段的重量成等差数列，设公差为d，则解得a1，d，所以an.所以因此数列的所有项的和为a8a9a15.答案：课堂检测素养达标1在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an10的n为()A21 B22 C23 D24【解析】选B.公差da2a14，所以ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令即210 Ba2a101200.所以n19时剩余钢管根数最少为10根答案：105(2021天津高二检测)设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有，则的值为_【解析】由等差数列的性质可得：.对于任意的nN*都有，则.答案：关闭Word文档返回原板块