1、第二章 解三角形3解三角形的实际应用举例A组学业达标1(2019潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40，观察C，其方向是南偏东70，在B处观察C，其方向是北偏东65，则B，C之间的距离是()Aa B.a C.a D.a解析：如图所示，由题意可知ABa，BAC704030，ABC4065105，C45，在ABC中，由正弦定理得，即BCa.故选D.答案：D2(2019遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105.则A，B两点间的距离为()A50 m
2、 B50 mC50 m D50 m解析：在ABC中，B1804510530，由正弦定理得，即，解得AB50.故选A.答案：A3(2019永州高一检测)如图，在热气球C正前方有一高为a的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30，则此时热气球的高度CD为()A.a B.aC.a D.a解析：由题意，BCABAC30，ABBCa，AC a，ADC中，CDACsin 60 a，故选D.答案：D4如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C相对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡
3、的坡角为，则cos ()A. B.1C2 D.解析：在ABC中，由正弦定理，得BC50()(m)在BCD中，由正弦定理，得sinBDC1.由题图知cos sinADEsinBDC1，故选B.答案：B5如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos 等于()A. B.C. D.解析：在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正
4、弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，得ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sin ACBsin 30.故选B.答案：B6有一段长为10 m的斜坡，它的倾斜角为75，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延伸_m.解析：如图，在ABC中，BAC753045，由正弦定理，得，所以BC10(m)答案：107台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为_小时解析：设t小时时，B城市恰好处于危险区，则由
5、余弦定理，得(20t)2402220t40cos 45302，即4t28t70，t1t22，t1t2.故|t1t2|1.答案：18在点O观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点P，一分钟后，该物体位于点Q，且POQ90，再过一分钟，该物体位于点R，且QOR30，则tanOPQ_解析：由物体做匀速直线运动，得PQQR，不妨设其长度为1.如图，在RtPOQ中，OQsin OPQ，OPcosOPQ.在OPR中，由正弦定理，得.同理在ORQ中，由正弦定理，得，所以tanOPQ，所以tanOPQ.答案：9在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为a的军事基地C和D处测得蓝方两
6、支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离解析：ADCADBCDB60，又DCA60，DAC60，ADCDACa，BCa.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2，ABa.蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.10如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解析：(1)在ABC
7、中，BAC18060120，AB12 (n mile)，AC10220 (n mile)，BCA.由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28 (n mile)所以渔船甲的速度为BC14(n mile/h)(2)在ABC中，AB12 n mile，BAC120，BC28 (n mile)，BCA，由正弦定理，得，所以sin .B组能力提升11(2019桂林高一检测)甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船
8、的距离是()A. km B. kmC. km D. km解析：如图所示，15 min h.设甲、乙两船行驶 h分别到D、C点AD82 km.BC123 km.EBC60，ABC120.ABBC3，AACB30.在ABC中，由余弦定理可得：AC2AB2BC22ABBCcosABC3232233cos 12027.AC3.在ACD中，由余弦定理可得：DC2AD2AC22ADACcosDAC427223cos 3013.DC.所以B选项是正确的答案：B12(2019承德高一检测)飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔1 5000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的
9、俯角为18，经过108 s后又看到山顶的俯角为78，则山顶的海拔高度为()A(1518sin 18cos 78)kmB(1518sin 18sin 78)kmC(1520sin 18cos78)kmD(1520sin 18sin 78)km解析：如图，A18，ACB60，AB1 00010830(km)在ABC中，BC20sin 18，CDAD，CDBCsinCBDBCsin 7820sin 18sin 78.山顶的海拔高度1520sin 18sin 78 (km)故选D.答案：D13(2019丰台高一检测)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离观察者找到了一个点C，从C可以观察到点A，B；
10、找到了一个点D，从D可以观察到点A，C；找到一个点E，从E可以观察到点B，C.并测量得到图中一些数据，其中CD2，CE4，ACB60，ACDBCE90，ADC60，BEC45，则AB_解析：在RtBCE中，BCCE4，在RtACD中，ACCD6，在ABC中，由余弦定理得AB2.答案：214某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，则巡逻艇应该沿_方向去追，需要_小时才追赶上该走私船解析：如题干图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB10x，AB14x，A
11、C9，ACB7545120，在ABC中，由余弦定理，得(14x)292(10x)22910xcos 120化简得32x230x270，解得x或x(舍去)，所以BC10x15，AB14x21，由正弦定理，得sinBAC，所以BAC3813或BAC14147(钝角不合题意，舍去)3813458313.答案：北偏东831315某人在塔的正东，沿着南偏西60的方向前进60米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为60，求塔高解析：如图，设AE为塔，某人在塔正东的B点，他在B点沿南偏西60前进60米后到达C点，则BC60，BAC9045135，ABC906030，在ABC中，根据正弦定理有，即，
12、解得AC30.过点A作AGBC于点G，连接EG，则AGE为直线EG与平面ABC所成的线面角，即为沿途测得塔顶的最大仰角，故AGE60，在ABC中，SABCAGBCACBCsinACB，即AG30sin(18013530)15(1)又因为AE平面ABC，AG平面ABC，所以AEAG，在直角AEG中，塔高AEAGtanAGE15(1)tan 6015(3)答：塔高为15(3)米16某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60方向相距20(1)n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)h后开始影响基地持续2 h求台风移动的方向解析：如图，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD20 n mile，AC20 n mile.由题意，得AB20(1)n mile，DC20 n mile，BC10(1)n mile.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45，在ABC中，由余弦定理，得cosBAC.BAC30.B位于A的南偏东60方向，且603090180，D位于A的正北方向又ADC45，台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45方向