1、黄石二中2020级高二年级上学期8月份考试数学试卷考试时间：2021年8月27日下午试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设平面向量，若，则等于（ ）ABCD2设，则（ ）ABCD3在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目，若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（ ）A12B18C24D324设为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ）A，且B，且与相交与相交C，D，且5我国古代数学专著九章算术中有一衰分题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，
2、南乡六千九百十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A104人B108人C112人D120人6在棱长为的正方体中，分别是，的中点，则点到平面的距离为（ ）ABCD7同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，则方程有两个不等实根的概率为（ ）ABCD8若过点，作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题漏选得2分，选错得0分，全对得5分9在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ）ABC与的夹角为60D正方体的体积为10已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是（ ）A且B存在相异实数，使C（其中实数，
3、满足）D已知梯形，其中，11如图所示，已知在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的是（ ）A线段的长是定值B存在某个位置，使C点的运动轨迹是一个圆D存在某个位置，使平面12如图所示，在球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥设二面角的平面角的大小为，则的取值可能为（ ）AB3CD1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程_14某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间
4、没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为_15已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_16如图，与交于点，若，则_，_四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别1，2，3，4，5，6（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为和，求的概率18某海上养殖基地，接到气象部门预报，位于基地南偏东60方向相距的海面上有一台风中心，影响半径为，正以的速度沿某一
5、方向匀速直线前行，预计台风中心将从基地东北方向刮过且后开始影响基地持续求台风移动的方向19已知中，顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上的高所在直线的方程是（1）求点关于直线的对称点的坐标；（2）求顶点，的坐标；（3）过点的直线，满足，两点到的距离相等，求直线的方程20已知四边形满足，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点（1）求四棱锥的体积；（2）求平面与平面所成角的正弦值21某校有高中生2000人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图身高（单位：）频数6
6、4方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20（1）根据图表信息，求，并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？22如图，在几何体中，四边形为矩形，平面平面，（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围黄石二中八月月考数学参考答案1A2D3B4C5B6B7B8
7、C如果过点，作四条直线构成一个正方形，过点的直线，必和过、的直线中的一条平行，与另外两条垂直；假设过点的直线与过点的直线平行，与过点的直线和过点的直线垂直时，如图：设直线与轴正方向的夹角为，再过作它的平行线，过、作它们的垂线、，过点作轴的平行线分别交、于点、，则，因为，所以，则，所以正方形的面积为：，同理可求，当直线和过的直线平行时正方形的面积为；当直线和过点的直线平行时正方形的面积为，故选C9AB10AB11AC取的中点，连接，则，所以平面平面，所以平面，D错误；由题意可知，为定值，因此由余弦定理可得，所以是定值，故AC正确；由题可知，则，若B成立，可得平面，则，与矛盾，故B错误故选AC12
8、AC设二面角的大小为，二面角的大小为，球心到平面的距离为，球的半径为1，则，故选AC13或141516，设，可得，所以且，可得，代入上式从而可得，另外，也可用梅涅劳斯定理由梅涅劳斯定理可知，因为，所以，则，故，17（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，取出球的编号之和为6的有，共2种取法，故所求概率（2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，两次取的球的编号之和大于5的有，共26种取法，故所求概率18如图所示，设预报时台风中心为，开始影响基地时台风中心为，基地刚好不受影响时台风中心为，则，在一条直线上，且，由题意得，在中，因为，所以，在中，由余弦定理，得，所以又因为位于的南偏东60的方
9、向上，且，所以位于的正北方向又因为，所以台风移动的方向为向量的方向，即北偏西45方向19（1）设点关于直线的对称点的坐标为，则，的中点坐标为，因为，所以，解得，故对称点的坐标为（2）依题意设所在直线方程为，则，解得，故，所以，解得，故，设，则的中点坐标为，所以，解得，即（3）由（2）可得的中点坐标为，当直线过的中点，显然满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即当直线平行时，也满足、两点到的距离相等，此时直线方程为，即故满足条件的直线方程为或20（1）取的中点，连接，易知，则为等边三角形，则，又因为平面平面，所以平面，所以（2）连接，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，则，
10、设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则，所以平面与平面所成角的正弦值为21（1）因为身高在区间的频率为，频数为4，所以样本容量为，所以身高在的频率为，小矩形的高为，所以身高在的频率为，小矩形的高为，由此补全频率分布直方图：由频率分布直方图可知：样本的身高均值为，所以由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为（2）把男生样本记为：，其均值为，方差为，把女生样本记为：，其均值为，方差为，总体样本均值记为，方差记为，所以，又因为，所以，同理可得，所以，故总样本的均值及方差分别为165，43（3）两种方案总样本均值的差为，所以用方案二总体样本均值作为总体均值的估计不合适，原是没有进行等比例的分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差22（1）证明：在四边形中，因为，所以四边形是等腰梯形，且，所以，；又因为平面平面，交线为，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）分别以直线，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，因为是平面的一个法向量，所以，因为，所以当时，有最小值，最小值为当时，有最大值，最小值为，故