1、章末综合测试二平面向量本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小2下列命题正确的是()A若ab，则a与b的方向相同或相反B若ab，bc，则acC若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D若ab，bc，则ac3已知|a|2，|b|3，|ab|，则|ab|等于()A. B. C.
2、D.4已知有向线段，不平行，则()A| B|C| D|5ABC的边BC所在直线上有一点D，满足40，则可表示为()A. B.C.23 D.6已知|a|2，向量a在向量b上的投影为，则a与b的夹角为()A. B. C. D.7在ABC所在的平面上有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A. B. C. D.8已知向量a(1,2)，b(，1)若ab与a平行，则()A5 B. C7 D9已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D510若向量(2,0)，(1,1)，则()A(3,1) B(4,2) C(5,3) D(4,3)11已知一条两岸平行的河流河水的速度
3、为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/s C4 m/s D12 m/s12已知，则ABC()A. B. C. D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知|a|3，|b|5，则ab模长的最大值是_14已知向量a与b满足|a|2，|b|，a与b的夹角为，a(ab)，则实数_.15设x，yR，向量a(x,1)，b(2，y)，c(2,2)，且ac，bc，则|ab|_.16已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，
4、则向量a与c的夹角为_三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证A，B，D三点共线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值18(10分)已知|a|1，|b|，(1)若ab且同向，求ab.(2)若向量a，b的夹角为135，求|ab|.19(12分)设向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围20(12分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且
5、|kab|akb|(k0)(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角21(12分)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图所示)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小22(14分)如图，在ABO中，AD与BC交于点M，设a，b.(1)用a，b表示.(2)在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M.设p，q.求证：1.章末综合测试二平面向量1解析：向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小答案：D2解析：由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a0，则对于任意的向量b，都有ab，
6、知A错误；取b0，则对于任意的向量a，c都有ab，bc，知B错误；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错误；由两个向量相等的概念可知D正确答案：D3解析：易得|ab|219，所以a22abb219，所以2ab19496，于是|ab|.答案：A4解析：由向量加法的几何意义得|a|b|ab|a|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|.答案：D5解析：由题意得4()4()430，整理得，故选B.答案：B6解析：记向量a与向量b的夹角为，a在b上的投影为|a|cos 2cos ，a在b上的投影为，cos ，0，.答案：B7解析：由得，则2，所以P，A，C三点共线，所以.答案：C8解
7、析：ab(1,2)(，1)(1,3)，由ab与a平行，可得132(1)0，解得.答案：D9解析：设BC的中点为D，则2.由已知条件可得M为ABC的重心，则，故3，即m3.答案：B10解析：由题意及向量加、减法的坐标运算得(3,1)，因为(1,1)，所以(1,1)，所以(4,2)答案：B11解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10，|v2|2(m/s)答案：B12解析：由题意可知，因此cosABCcos，所以ABC.故选A.答案：A13解析：当a，b同向时，向量ab模长取最大值，此时|ab|358.答案：814解
8、析：a(ab)，a(ab)0，即a2ab0，即42cos0，解得.答案：15解析：ac2x20x1a(1,1)，bc42y0y2b(2，2)ab(3，1)|ab|.答案：16解析：由题意可画出图形，如图所示，在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：9017解析：(1)因为e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1.18解析：(1)若ab
9、且同向则a与b夹角为0，此时ab|a|b|.(2)|ab|1.19解析：由题意，知e4，e1，e1e21，(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7，2t215t70，解得7t.当2te17e2与e1te2共线时，设2te17e2(e1te2)(0)2t27t，当t时，2te17e2与e1te2的夹角为，实数t的取值范围是.20解析：(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2，(k23)a28kab(13k2)b20.又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，故|a|b|1，k238ka
10、b13k20，ab.(2)由(1)得ab.由函数的单调性，得f(k)在(0,1上单调递减，在(1，)上单调递增，当k1时，f(k)minf(1)(11).设此时a与b的夹角为，则cos ，60.21解析：如图所示，两根绳子的拉力之和，且|300(N)，AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，AOC30，则OAC90，从而|cos 30150(N)，|sin 30150(N)，|150(N)故与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.22解析：(1)因为B，M，C三点共线，所以存在实数m，使得m(1m)m(1m)ma(1m)b.又A，M，D三点共线，所以存在实数n，使得n(1n)na(1n)b.由于a，b不共线，所以，解得，故ab.(2)因为E，M，F三点共线，所以存在实数，使得(1)pa(1)qb.结合(1)，易得，消去，得1.
