1、阶段质量评估(四)平面向量(B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1B2C3 D4解析：错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，不论为何值，a0；错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量答案：C
2、2已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足20，则()A2 B2C. D解析：依题意，得22()，所以2，故选A.答案：A3在平行四边形ABCD中，a，b，2，则()Aba BbaCba Dba解析：因为，所以ba，故选C.答案：C4在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. BC. D1解析：M是BC上任意一点，可设xy(xy1)N为AM的中点，xy，(xy).答案：A5如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()Aab BabCab Dab解析：连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.答案
3、：D6已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A梯形 B菱形C矩形 D正方形解析：(3,3)，(2,2)，|，此四边形为梯形答案：A7若i2j，(3x)i(4y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为()A1,2 B2,2C3,2 D2,4解析：(1,2)，(3x,4y)，代入比较答案：B8已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A BC. D解析：如图所示，设m，n.根据已知得，m，所以mn，mn，(mn)
4、m2n2mn.答案：B9已知向量m(1，cos )，n(sin ，2)，且mn，则sin 26cos2的值为()A. B2C2 D2解析：由题意可得mnsin 2cos 0，则tan 2，所以sin 26cos22.故选B.答案：B10若O为平面内任意一点，且(2)()0，则ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形解析：由(2)()0得()()0，2AC0，即|，ABAC，即ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形答案：C11已知向量m(a，b)，n(c，d)，p(x，y)，定义新运算：mn(acbd，adbc)如果对
5、于任意向量m，都有mpm成立，则p()A(1,0) B(1,0)C(0,1) D(0，1)解析：mpm，(a，b)(x，y)(axby，aybx)(a，b)，即对任意m(a，b)，都有(a，b)(x，y)(a，b)成立，解得p(1.0)答案：A12在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是()A. BC. D0,1解析：如图，以AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，M，设E(x,0)(0x1)，(1x,1)，(1x)(1x)1x22x.0x1，当x1时，()min；当x0时，()max.答案：C二、填空题(本大题
6、共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：由于ab与a2b平行，所以存在R，使得ab(a2b)，即()a(12)b0，因为向量a，b不平行，所以0,120，解得.答案：14若向量(1，3)，|，0，则|_.解析：法一：设(x，y)，由|知，又x3y0，所以x3，y1或x3，y1.当x3，y1时，|2；当x3，y1时，|2.故|2.法二：由几何意义知，|就是以，为邻边的正方形的对角线长，又|，所以|2.答案：215已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_解析
7、：由题意可画出图形，在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：9016给出以下命题：若|ab|a|b|，则ab；向量a(1，1)在b(3,4)方向上的投影为；若非零向量a，b满足|ab|b|，则|2b|a2b|.其中正确命题的序号为_解析：由|ab|a|b|cosa，b|a|b|，得cosa，b1，即a，b0或a，b，所以ab，正确；向量a在b方向上的投影为|a|cos a，b，正确；由|ab|b|，得a22ab0，即2aba2，若|2b|a2b|，则有4b2a24ab4b2，即a24aba22a2a20，该式显然成立，正确综上，正确
8、命题的序号为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解析：法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb296112.|3ab|2.法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3，x1x2y1y2，|3ab| 2.18(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，|2|2，OAB，(1，)(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OAB
9、C为等腰梯形解析：(1)设B(xB，yB)，则xB|cos(OAB)，yB|sin(OAB)，(1, )，B，C.(2)证明：连接OC.，3，.又|，|2，四边形OABC为等腰梯形19(本小题满分12分)已知向量a，b不共线，ckab，dab.(1)若cd，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|b|，a与b的夹角为60，求当k为何值时，cd.解析：(1)cd，故cd，即kab(ab)又a，b不共线，则解得即cd，故c与d反向(2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60(k1)a2a2.又cd，故(k1)a2a20.即(k1)0，解得k1.20
10、(本小题满分12分)如图，(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式(2)若在(1)的条件下，又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积解析：(1)因为(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，所以(x4,2y)又因为，(x，y)，所以x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)因为(6,1)(x，y)(x6，y1)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，且，所以0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.又由(1)的结论x2y0，所以(62y)(2y2)(y1)(y3)0.化简，得y22y30，所以y3，或y1.当y3时，x6.于是有(6,3)，(0,4)，(8,0)所以|
11、4，|8.所以S四边形ABCD|16；当y1时，x2.于是有(2，1)，(8,0)，(0，4)所以|8，|4.所以S四边形ABCD|16.所以或S四边形ABCD16.21(本小题满分12分)已知a(，1)，b，且存在实数k和t，使得xa(t23)b，ykatb，且xy，试求的最小值解析：a(，1)，b，ab10.|a|2，|b| 1，ab0，ab.xy，a(t23)b(katb)0，即ka2(t33t)b2(tt2k3k)ab0.k.(t24t3)(t2)2.故当t2时，有最小值.22(本小题满分12分)在ABC中，满足，M是BC的中点(1)若|，求向量2与向量2的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且|，求的最小值解析：(1)设向量2与向量2的夹角为，|a，0，(2)(2)225224a2，|2|a，同理可得|2|a，cos .(2)，|，|1.设|x(0x1)，则|1x，而2，()22|cos 2x(1x)2x22x22，当且仅当x时，取得最小值.