1、第二章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1已知向量a(1，2)，b(x,4)，且ab，则|ab|等于(B)A5 B3 C2 D2解析：因为ab，所以42x0，所以x2，ab(1，2)(2,4)(3，6)，所以|ab|3.故选B.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于(A)A1 B2 C3 D5解析：|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，所以ab1.故选A.3已知M(2,7)，N(10，2)，点P是线段MN上的点，且2，则点
2、P的坐标是(D)A(14,16) B(22，11) C(6,1) D(2,4)解析：设点P(x，y)，(10x，2y)，(2x,7y)，因为2，所以解得故选D.4若ae12e2，b2e1e2，则a2b与2ab(C)A一定共线 B一定不共线C当且仅当e1与e2共线时共线 D当且仅当e1e2时共线解析：a2be12e22(2e1e2)e12e24e12e25e1,2ab2(e12e2)(2e1e2)2e14e22e1e25e2，当且仅当e1与e2共线时，a2b与2ab共线故选C.5设D为ABC所在平面内一点，3，则(A)A. B.C. D解析：()，选A.6直线()xy3和直线x()y2的位置关系
3、是(B)A相交但不垂直 B垂直 C平行 D重合解析：直线()xy3的方向向量为(1，)，直线x()y2的方向向量为(1，)，则(1，)(1，)1()()1(1)0，所以两直线垂直故选B.7已知a，b，c均为单位向量，且|ab|1，则(ab)c的取值范围是(C)A0,1 B1,1 C， D0，解析：由a，b为单位向量和|ab|1的几何意义，可知|ab|.设ab与c的夹角为，所以(ab)c|ab|c|cos，8对于向量a，b，c和实数，下列命题中正确的是(B)A若ab0，则a0或b0 B若a0，则a0或0C若a2b2，则ab或ab D若abac，则bc解析：ab0还有可能a0且b0，ab，故A不正
4、确；B正确；若a2b2，即|a|b|，但a与b的夹角可以是任意的，故C不正确；若ab，ac，则abac0，但b与c不一定相等，故D不正确综上可知，选B.9已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为(B)A6 B7 C8 D9解析：由题意知A，C关于圆心(0,0)对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，y1)，于是(x12，y1)(x22，y2)(x12，y1)(x26，y2)，由于点B在圆x2y21上，所以|即是圆x2y21上任一点到点(6,0)的距离，其最大值为7，故选B.10在OAB中，a，b，OD是AB边上的高若，则等于(B
5、)A. B. C. D.解析：由题意知0，即()0，()0，故选B.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上)11已知ab2i8j，ab8i16j，其中ij0，|i|j|1，则ab63.解析：ab(3i4j)(5i12j)15|i|248|j|256ij6356063.12平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m2.解析：a(1,2)，b(4,2)，则cmab(m4,2m2)，|a|，|b|2，ac5m8，bc8m20.c与a的夹角等于c与b的夹角，即，解得m2.13设e1，e2是不共线的向量，已知向量2e1k
6、e2，e13e2，2e1e2，若向量，共线，则k8.解析：(2e1e2)(e13e2)e14e2，又，共线，故存在实数，使，2e1ke2(e14e2)2，k48.14已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t2.解析：由bc0知，bcta(1t)bbtab(1t)b2t11cos601t0.即1t0，所以t2.15.如图所示，设P，Q为ABC内的两点，且，则ABP的面积与ABQ的面积之比为.解析：根据题意，设，则，且四边形AMPN为平行四边形，所以NPAB，所以，同理，可得.故.三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题1
7、2分)已知向量a(2,2)，b(2,1)，c(2，1)，tR.(1)若(tab)c，求t的值；(2)若|atb|3，求t的值解：(1)因为a(2,2)，b(2,1)，c(2，1)，所以tab(22t,12t)因为(tab)c，所以2(12t)(22t)0，解得t2.(2)|atb|3，解得t1或t.17(本小题12分)在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC为直角三角形，求k的值解：若A90，由已知得0，可知213k0，解得k.若B90，则0.(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.若C90，则0.可知1(1)k(k3)0，即k23k10，解得k.综上，可得k，或k
8、，或k或k.18(本小题12分)在直角坐标系中，已知(4，4)，(5,1)，点M在直线OA上，在方向上的射影数量为|，求的坐标解：设点M的坐标为(x，y)在方向上的射影数量为|，0.又(x，y)，(5x,1y)，x(5x)y(1y)0.又点O，M，A三点共线，(R)，.解得(52,12)(3,3)19(本小题12分)如图，已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明：如图，建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)(2,0)(1,2)
9、，(0,1)(2,2)(2，1)，因为1(2)2(1)0，所以，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，因为，所以x2(y1)，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，所以y，即P.所以22242，所以|，即APAB.20(本小题13分)设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)若ab，2a3b，2akb，且A，C，D三点共线，求k的值解：(1)证明：a2b，a2b，所以.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线(2)设8akb(ka2b)，R，则解得或所以实数k的值为4.(3)(ab)(2a3b)3a2b，因为A，C，D三点共线，所以与共线从而存在实数使，即3a2b(2akb)，得解得所以k.21(本小题14分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C、D分别在OA、OB上，且OCBD，OA1，AOB120.(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用、表示向量；(2)求的取值范围解：(1)由题意知OA綊MB，所以.所以.(2)设k，则(1k)，(k1)，k，由k0,1得的取值范围是.