1、第 5 讲 不等式的应用1会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1如果 a，bR，那么 a2b2_(当且仅当 ab 时取“”号)2如果 a，b 是正数，那么ab2 _(当且仅当 ab时取“”号)2abab3不等式的推广：21a1b abab2 a2b22.以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H)，几何平均数(记作 G)，算术平均数(记作 A)，平方平均数(记作 Q)，即HGAQ，各不等式中等号成立的条件都是 ab.4常用不等式(1)a，b，cR，a2b2c2abbcca(当且仅当 abc 时取“”号)(2)若 ab0，m0
2、，则bmamba(糖水的浓度问题)1若正实数 m 和 n 的等差中项为12，则1m1n的最小值是()A2 B4 C6 D8B 2(2013 年陕西)若点(x，y)位于曲线 y|x|与 y2 所围成)A的封闭区域，则 2xy 的最小值为(A6B2C0D2解析：如图D20，将点(2,2)代入2xy，得最小值为6.图 D203建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元4一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市，已知两地路线长 400 千米，为了安全，两辆货车间距至少不得(不
3、计货车长度)小于v202 千米，那么这批物资运到 B 市，最快需要_小时20008考点 1 利用不等式进行优化设计例 1：出版社出版某一读物，一页上所印文字占去 150 cm2，上、下边要留 1.5 cm 空白，左、右两侧要留 1 cm 空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？解：设印字部分的矩形宽为 x，则高为150 x，故纸张宽为 x2，高为150 x 3，其面积为：S(x2)150 x 3 3x300 x 1562 3x300 x 156216(cm2)当且仅当 3x300 x，即 x10 cm 时，Smin216 cm2.故应选用 12 cm18 cm 的纸张【规律方法】利用不等
4、式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大【互动探究】1某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，则最大的种植面积是()DA218 m2B388 m2C468 m2D648 m2解析：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则ab800.蔬菜的种植面积：S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)S8084 2ab648(m2)当 a2b，即 a40 m，b20 m 时，S
5、最大值648 m2.考点 2 利用规划进行优化设计例 2：某人有楼房一幢，室内面积共计 180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积为 18 m2，可住游客 5名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 15 m2，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元如果他只能筹款 8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解：设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，收益为 z 元，则 x，y 满足18x15y180，1000 x600y8000，xN，yN，且 z200
6、x150y.约束条件可化简为：6x5y60，5x3y40，xN，yN.可行域为如图 D21 所示的阴 影部分(含边界)图 D21作直线 l：200 x150y0，即直线 l：4x3y0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置，直线 l 经过点 B，且与原点的距离最大，此时 z200 x150y 取得最大值解方程组6x5y60，5x3y40，得 B207，607.由于点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的 x,y 必须都是整数，故可行域内的点 B207，607 不是最优解这些整点有(0,12)，(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,6)，(5,5)，(6,3)，(7,1)，(8,
7、0)通过检验,当经过的整点是(0,12)和(3,8)时,z 取得最大值为 1800.隔出小房间 12 间，或隔出大房间 3 间、小房间 8 间，能获得最大收益【规律方法】利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求使目标函数取得最值的解.根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.,本题完全利用图象，对作图的准确性和精确度要求很高，在现实中很难做到，为了得到准确的答案，建议求出所有边界的交点，再代入检验.当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解
8、附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解.【互动探究】2某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是()A12 万元C25 万元B20 万元D27 万元答案：D解析：设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨，y 吨，由题意，得3xy13，2x3y18，x0，y0，且获得利润 z5x3y.画出可行域如图 D22，由3xy13，2x3y1
9、8，解得 A(3,4)由图可知，当直线 5x3yz 经过点 A 时，zmax27.图 D22考点 3 利用基本不等式处理实际问题例 3：某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料 200 公斤，每公斤饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元(1)求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价的 85%)问该养殖场是否考虑利用此优惠条件，请说明理由解：(1)设该养殖场应隔 x(xN*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费
10、用为 y1 元饲料的保管与其他费用每天比前一天少 2000.036(元)，x 天饲料的保管与其他费用共是 6(x1)6(x2)63x23x(元)，从而有 y11x(3x23x300)2001.8300 x3x357417.当且仅当300 x 3x，即 x10 时，y1 有最小值，即每隔 10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小(2)若养殖场利用此优惠条件，则至少 25 天购买一次饲料设该养殖场利用此优惠条件，每隔 x 天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 y2 元，则y21x(3x23x300)2001.80.85300 x 3x3033x100 x303(x25)，显然 y2 在10，)上是增函数，即函数 y2 在25，)上是增函数，当 x25 时，y2 取得最小值为 390.而 3900型“对勾”函数求最