1、第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与计算1导数的概念(1)平均变化率一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.(2)函数yf(x)在xx0处的导数定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，此值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)
2、在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)小题体验1(教材习题改编)一次函数f(x)kxb在区间m，n上的平均变化率为_解析：由题意得函数f(x)kxb在区间m，n上的平均变化率为k.答案：k2(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx5，则f(3)_，
3、f(3)_.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为1.答案：213设函数f(x)在(0，)内可导，且f(x)xln x，则f(1)_.解析：由f(x)xln x(x0)，知f(x)1，所以f(1)2.答案：24(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析：f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案：31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切
4、线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)_.解析：对关系式f(x)2xf(e)ln x两边求导，得f(x)2f(e)，令xe，得f(e)2f(e)，所以f(e).答案：2已知f(x)x23xf(2)，则f(2)_.解析：因为f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)，所以f(2)2，所以f(x)x26x，所以f(2)22628.答案：83已知定义在R上的函数f(x)exx2xsin x，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_解析：令x0，得f(0)1.对f(
5、x)求导，得f(x)ex2x1cos x，所以f(0)1，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx1.答案：yx1题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)y.解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)y，y.谨记通法求函数导数的3种原则命题分析导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值题点全练角度一：求切线方程1(2016南通调研)已
6、知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.答案：角度二：求切点坐标2若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_解析：由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)答案：(e，e)角度三：求参数的值3(2016南京外国语学校检测)已知函数f(x)x4ax2bx，且f
7、(0)13，f(1)27，则ab_.解析：f(x)4x32axb，由ab18.答案：18方法归纳导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为_解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)答案：3(x2a
8、2)2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.解析：由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案：13(2016徐州一中检测)曲线yf(x)x(x1)(x2)(x6)在原点处的切线方程为_解析：y(x1)(x2)(x6)x(x1)(x2)(x6)，所以f(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0720.故切线方程为y720x.答案：y720x4(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2
9、，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：15已知曲线yx3x2在点P0处的切线l与直线4xy10平行，且点P0在第三象限，则点P0的坐标为_解析：设P0(x0，y0)由yx3x2，得y3x21.由已知，得3x14，解得x01.当x01时，y00；当x01时，y04.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)答案：(1，4)二保高考，全练题型做到高考达标1某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度为_ m/s.解析：s2t，在第4 s末的瞬时速度vst48 m/s.答案：2(2015苏州
10、二模)已知函数f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，则f(1)_.解析：f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x为奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：23已知f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0_.解析：f(x)2 015ln xx2 016ln x，故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.答案：14(2016金陵中学模拟)设点P是曲线yx3x上的任意一点，P点处切线倾斜角的取值范围为_解析：因为y3x2，故切线斜率k，所以切线倾斜角的取值范围是.答案：5已知f(x
11、)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为_解析：f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0)在x1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值解：因为f(1)1，所以切点为.由已知，得f(x)，切线斜率kf(1)，所以切线l的方程为y(x1)，即2xaya10.令y0，得x；令x0，得y.所以l与两坐标轴所围成的三角形的面积S21，当且仅当a，即a1时取等
12、号，所以Smin1.故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_解析：设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率kyxt3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt).将点A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数，故a.答案：2(2016无锡一中检测)已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x)fcos
13、 xsin x，f(x)fsin xcos x，ff，f1.故f(1)1.答案：13(2016苏北四市调研)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任意一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)f(x)a.点(2，f(2)在切线7x4y120上，f(2).又曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120，f(x)的解析式为f(x)x.(2)设为曲线yf(x)上任意一点，则切线的斜率k1，切线方程为y(xx0)，令x0，得y.由得曲线yf(x)上任意
14、一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积S|2x0|6，为定值第二节 导数的应用1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f
15、(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题体验1(教材习题改编)函数f(x)x2ex的单调增区间是_解析：函数f(x)的定义域为R，f(x)2xexx2exex(2xx2)，令f(x)0，得x0，所以
16、函数f(x)的单调增区间为(，2)和(0，)答案：(，2)，(0，)2(教材习题改编)函数f(x)x3x24x取得极大值时x的值是_解析：f(x)x23x4，令f(x)0，得x11，x24，经检验知x4时，函数y取得极大值答案：43(教材习题改编)函数f(x)xsin x在区间0,2上的最大值为_解析：f(x)cos x，令f(x)0，x0,2，得x或x，又f(0)0，f.f，f(2).所以函数f(x)在区间0,2上的最大值为.答案：4已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案：31求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决2求函数最值时，易误
17、认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点小题纠偏1已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_解析：由题意，知f(x)3x22axb.由函数f(x)在x1处取得极大值10，知即解得或经检验满足题意，故.答案：2若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_解析：因为f(x)4x(x0)，所以可求得f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.又函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，
18、则解得1k.答案：3函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_解析：y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8.最大值为8.答案：8第一课时导数与函数的单调性典例引领设a2,0，已知函数f(x)证明f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增证明：设函数f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)x3x2ax(x0)，f1(x)3x2(a5)，由于a2,0，从而当1x0时，f1(x)3x2(a5)3a50，所以函数f1(x)在区间(1,0内单调递减f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1)，由于a2,0，所以当0x1时，f2(x)1时，f2(
19、x)0，即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增综合及f1(0)f2(0)，可知函数f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增由题悟法导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤(1)一求求f(x)；(2)二定确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论即时应用已知函数f(x)ln x.(1)求证：f(x)在区间(0，)上单调递增；(2)若fx(3x2)，求实数x的取值范围解：(1)证明：由已知得f(x)的定义域
20、为(0，)f(x)ln x，f(x).x0，4x23x10，x(12x)20.当x0时，f(x)0.f(x)在(0，)上单调递增(2)f(x)ln x，f(1)ln 1.由fx(3x2)得fx(3x2)f(1)由(1)得解得x0或x1.实数x的取值范围为.典例引领已知函数f(x)mx3nx2(m，nR，m0)，函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线与x轴平行(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间解：(1)由已知条件得f(x)3mx22nx，又f(2)0，所以3mn0，故n3m.(2)因为n3m，所以f(x)mx33mx2，所以f(x)3mx26mx.令f(x)0
21、，即3mx26mx0，当m0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，解得0x0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当mg(3)，因此2a6，解得a3.综上所述，实数a的取值范围是(，3，)答案：(，3，)3函数f(x)1xsin x 在(0,2)上的单调情况是_解析：在(0,2)上有f(x)1cos x0，所以f(x)在(0,2)上单调递增答案：单调递增4(2016启东模拟)已知a1，f(x)x33|xa|，若函数f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为M，m，则Mm的值为_解析：当x1,1时，f(x)x33(ax)x33x3a(a1)，f(x)
22、3(x1)(x1)当1x1时，f(x)0，所以原函数f(x)在区间1,1上单调递减，所以Mf(1)3a2，mf(1)3a2，所以Mm4.答案：45(2016苏州测试)已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，max，2a，即a.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x11，所以函数f(x)的单调减区间为(1,11)答案：(1,11)2若幂函数
23、f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为_解析：设幂函数f(x)x，因为图象过点，所以，2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，令g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)答案：(2,0)3(2016南通、扬州、淮安、连云港调研)设f(x)4x3mx2(m3)xn(m，nR)是R上的单调增函数，则实数m的值为_解析：因为f(x)12x22mxm3，又函数f(x)是R上的单调增函数，所以12x22mxm30在R上恒成立，所以(2m)2412(m3)0，整理得m212m360，即(m6)20.又因为(m6)20，所以(m6
24、)20，所以m6.答案：64已知函数f(x)x在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x的导数为f(x)1，由于f(x)在(，1)上单调递增，则f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立由于当x1时，x21，则有1，解得a1或a0.答案：(，0)1，)5(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为_解析：由f(x)2x33x2m，得f(x)6x26x，所以f(x)在0,1上单调递增，即f(x)2x33x2m与x轴至多有一个交点，要使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，即
25、从而可得m(5,0)答案：(5,0)6若函数f(x)ax33x在(1,1)上为单调递减函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3ax23，f(x)在(1,1)上为单调递减函数，f(x)0在(1,1)上恒成立，即3ax230在(1,1)上恒成立当x0时，aR；当x0时，a，x(1,0)(0,1)，a1.综上，实数a的取值范围为(，1答案：(，17(2016盐城中学模拟)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_解析：设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)
26、，F(x2)1，即x(，1)(1，)答案：(，1)(1，)8若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_解析：对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范围是.答案：9(2016镇江五校联考)已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1
27、时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)10(2016徐州调研)已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解：(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2三上台
28、阶，自主选做志在冲刺名校1已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是_解析：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意知当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a.答案：2(2016泰州模拟)若函数f(x)x2|xa|在区间0,2上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，f(x)x3ax2，f(x)3x22ax0在0，)上恒成立，所以f(x)在0，)上单调递增，则也在0,2上单调递增，成立；当a0时，f(x)当0xa时，f(x)2ax3x2，
29、令f(x)0，则x0或xa，则f(x)在上单调递增，在上单调递减；当xa时，f(x)3x22axx(3x2a)0，所以f(x)在(a，)上单调递增，所以当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，)上单调递增要使函数在区间0,2上单调递增，则必有a2，解得a3.综上，实数a的取值范围是(，03，)答案：(，03，)3已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，
30、且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9；由g(3)0，即m.所以m9.即实数m的取值范围是.第二课时导数与函数的极值、最值命题分析
31、函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题常见的命题角度有：(1)已知函数求极值；(2)已知极值求参数；(3)由图判断极值题点全练角度一：已知函数求极值1已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解：由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因为f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x
32、)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值角度二：已知极值求参数2(2016黑龙江哈三中期末)已知x2是函数f(x)x33ax2 的极小值点，那么函数f(x)的极大值为_解析：x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，即x2是f(x)3x23a0的根，将x2代入得a4，所以函数解析式为f(x)x312x2，则由3x2120，得x
33、2，故函数在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当x2时函数f(x)取得极大值f(2)18.答案：183若函数f(x)ax3ax2(2a3)x1在R上存在极值，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，f(x)ax22ax2a3，因为函数f(x)ax3ax2(2a3)x1在R上存在极值，所以f(x)0有两个不等实根，其判别式4a24a(2a3)0，所以0a3，故实数a的取值范围为(0,3)答案：(0,3)角度三：由图判断极值4已知函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有_个极大值点，_个极小值点解析：由导数与函数极值的关系，知当f(x0)0
34、时，若在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极大值；若在x0的左侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极小值设函数f(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值答案：22方法归纳利用导数研究函数极值的一般流程典例引领已知函数f(x)ex(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1,2上的最大值解：(1)f(x)ex(a0)，则f(x)ex.令ex0，则xln .当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xlnf(x)0f(x)极大值故函数f(x)的单
35、调递增区间为；单调递减区间为.(2)当ln2，即0a时，f(x)maxf(2)e2；当1ln 2，即a时，f(x)maxfln；当ln1，即a时，f(x)maxf(1)e.由题悟法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值3步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值即时应用设函数f(x)aln xbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相
36、切，解得(2)由(1)得f(x)ln xx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0得x1；令f(x)0，得1xe，f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)maxf(1).典例引领已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解：(1)f(x)a，fa1，故f(x)x3ln x，则f(x).由f(x)0得x1或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2从而在上，f(x)有最小值，且最小值
37、为f(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0)，由题设可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则，解得0a.故所求a的取值范围为.由题悟法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值即时应用已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax
38、2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)ln xx在(0，e上的最大值为_解析：f(x)1(x0)，令f(x)0，得0x1，令f(x
39、)1，f(x)在(0,1上是增函数，在(1，e上是减函数当x1时，f(x)在(0，e上取得最大值f(1)1.答案：12函数f(x)ex(sin xcos x)的值域为_解析：x，f(x)excos x0，f(0)f(x)f，即f(x)e.答案：3当函数yx2x取极小值时，x_.解析：令y2xx2xln 20，x.答案：4若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为_解析：若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有根，故(4c)2120，从而c或c.故实数c的取值范围为.答案：5已知函数f(x)2f(1)ln xx，则f(x)的极大值为_解析：因为f(x)1
40、，令x1，得f(1)1.所以f(x)2ln xx，f(x)1.当0x0；当x2，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.10已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函
41、数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln ax(，ln a)时，f(x)0；x(ln a，)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_
42、解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x3，由f(x)0，得x1或x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又abc，f(a)f(b)f(c)0，f(x)极大值f(1)4abc0，f(x)极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0，c0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0，f(0)f(3)0.正确结论的序号是.答案：2已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是
43、_解析：因为f(x)3mx22nx，由题意得解得所以f(x)3x26x.又f(x)在区间t，t1上单调递减，所以f(x)3x26x0在区间t，t1上恒成立即解得t2，1答案：2，13(2016苏北四市调研)已知函数f(x)ax2bxln x(a0，bR)(1)设a1，b1，求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小解：(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).a1，b1，f(x)(x0)令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调递减区间是(0,1)，f(x)
44、的单调递增区间是(1，)(2)由题意可知，f(x)在x1处取得最小值，即x1是f(x)的极值点，f(1)0，2ab1，即b12a.令g(x)24xln x(x0)，则g(x).令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0，g(x)单调递增，当x时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g1ln 1ln 40，g(a)0，即24aln a2bln a0，故ln a2b.第三课时导数与函数的综合问题典例引领(2016常州模拟)如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道某公园P位于商业中心北偏东角，且与商业中心O的距离为 km处现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处(1)
45、当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；(2)若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置解：(1)以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系设P(m，n)因为00，xB0，得k或k0.y.令y0，得k.当k时，y0，y在是减函数；当k0，y在是增函数所以当k时，y有极小值，且极小值为9 km；当k时，y13.5 km.综上所述，商业中心到A，B两处的距离和最短为9 km，此时OA6 km，OB3 km.故A离商业中心6 km，B离商业中心3 km为最佳位置法二：(三角法)如图，过点P作PMOA交OB于点M，PNOB交OA于点N.设BAO.在O
46、PN中，解得PN1 km，ON4 kmPM.在PNA中，NPA120，所以，所以NA.同理在PMB中，所以MB.所以yOAOB14259，当且仅当，即sin(120)2sin ，即tan 时取等号此时OA6 km，OB3 km，故A离商业中心6 km，B离商业中心3 km为最佳位置由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的4步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答即时应用某村庄拟
47、修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为
48、r0，又由h0可得r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大典例引领(2015广东高考节选)设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点解：(1)f(x)的定义域为R，由导数公式知f(x)2xex(1x2)ex(x1)2
49、ex，xR.对任意xR，都有f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间(2)证明：由(1)知f(x)在(，)上单调递增，且f(0)1a1，a10，0，e1，e10，故f()0，x0(0，)使得f(x0)0.又f(x)在(，)上是单调函数，f(x)在(，)上仅有一个零点由题悟法利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现即时应用(2016苏州名校联考)函数f(x)(ax2x)ex，其中e是自
50、然对数的底数，aR.(1)当a0时，解不等式f(x)0；(2)当a0时，求整数t的所有值，使方程f(x)x2在t，t1上有解解：(1)因为ex0，所以不等式f(x)0即为ax2x0，又因为a0，所以不等式可化为x0，所以不等式f(x)0的解集为.(2)当a0时，方程即为xexx2，由于ex0，所以x0不是方程的解，所以原方程等价于ex10.令h(x)ex1，因为h(x)ex0对于x(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数，又h(1)e30，h(2)e220，h(3)e30，h(2)e20，所以方程f(x)x2有且只有两个实数根，且分别在区间1,2和3，2上，所以
51、整数t的所有值为3,1命题分析导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题题点全练角度一：证明不等式1已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图象在xx0处的切线，求证：f(x)g(x)解：(1)易得f(x)，由已知知f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，a1.故实数a的取值范围为(，1(2)证明：a0，则f(x).函数f(x)的图象在xx
52、0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则h(x)f(x)f(x0).设(x)(1x)e0(1x0)ex，xR，则(x)e0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，而(x0)0，当xx0时，(x)0，当xx0时，(x)0，当xx0时，h(x)0，当xx0时，h(x)0，h(x)在区间(，x0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，xR时，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)2已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求实数a的值
53、及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex.解：(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2，当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)在(ln 2，)上单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)，得g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，故g(x)在R上单调递增又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x20时，f(x)0恒成立，
54、f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F(x)1时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a，记G(x)，x，G(x).x，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数a的取值范围为1，)方法归纳导数在不等式问题中的应用问题2大解题策略(1)利用导数证明不等式若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F
55、(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题一保高考，全练题型做到高考达标1定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f
56、(x)x2x，当x1时，f(1)2，f(x)2x1，f(1)3，所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)当4x1时，h(x)0；当1x3时，h(x)0；当3x4时，h(x)0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，实数m的取值范围为.2已知函数f(x)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时
57、，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)10，解得ae2，所以此时e2a0.故实数a的取值范围为(e2,0)3某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商
58、品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)，可知y10(x6)2.设该商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元，则f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)令f(x)0，得x4或6(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表，可知当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大4(20
59、16扬州调研)已知函数f(x)ax2(a21)x和g(x)x.(1)求证：不论实数a取何值，f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求实数a的值解：(1)证明：由题意，知f(x)x22axa21x(a1)x(a1)，令f(x)0，解得xa1或xa1，当xa1时，f(x)0，当a1xa1时，f(x)0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)解析：对于，由f(x)2x的单调性可知f(x)2x在其定义域上单调递增，则有
60、m0，故正确对于，由g(x)x2ax的单调性可知g(x)x2ax在其定义域上先减后增，则存在n0的情形，故错误对于，由mn，得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令H(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得H(x)2xln 22xa.令H(x)0，得2xln 22xa.(*)图(1)由图(1)易知，当a很小时，两图象无交点，故方程(*)无解，所以不一定存在x1，x2使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故不正确对于，由mn，得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令F(x)f(x)g(x)2xx2ax，求导可得F(x)2xln 22
61、xa，令F(x)0，图(2)得2xln 22xa.(*)由图(2)易知，两图象必有交点，故方程(*)必有解，所以一定存在x1，x2使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，故正确答案：5(2015重庆高考)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x).因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(
62、2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_解析：设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)3(2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，
63、且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f lnaln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)4(2015江苏高考)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的
64、取值范围恰好是(，3)，求c的值解：(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0，从而或又bca，所以当a0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时
65、，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.5(2015北京高考)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x
66、)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点6(2015福建高考)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(
67、x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解：(1)f(x)x1，x(0，)由f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有F(x).当x(1，)时，F(x)0，所以F(x)在1，)上单调递减，故当x1时，F(x)F(1)0，即当x1时，f(x)x1.(3)由(2)知，当k1时，不存在x01满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)k(x1)，从而不存在x01满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有G(x)x1k.由G(x)0，得x2(1k)x10，解得x10，x21.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，实数k的取值范围是(，1)
