1、第 3 讲点、直线、平面之间的位置关系1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为推理的依据1 平面基本性质即三条公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列表公理 1公理 2公理 3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 1公理 2公理 3符号语言（续表）公理 2 的三条推论：推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线
2、，有且只有一个平面,Al BlABlA，B，C不共线A，B，C确定平面P，P,lPl 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空间线、面之间的位置关系异面无数个没有2空间直线与平面的位置关系直线在平面内：直线与平面有 公共点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行：直线与平面没有公共点.3空间两个平面的位置关系 两个平面平行：公共点；两个平面相交：有一条公共直线.3异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线 a 与
3、b所成的角(或夹角)，其范围是_锐角或直角(0，901(2013 年安徽蚌埠二模)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()BAl1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3 共面Dl1，l2，l3 共点l1，l2，l3 共面2若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是)A“这两条直线没有公共点”的(A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为()CA3 条B4 条C5 条D6 条解析：如图D35，用列举法知，符合要求的棱为
4、：BC，CD，C1D1，BB1，AA1.故选 C.图 D35)D4若 A，B，Al，Bl，Pl，则(APBP ClDP考点 1 平面的基本性质)例 1：若直线 l 不平行于平面，且 l，则(A内的所有直线与 l 异面B内不存在与 l 平行的直线C内存在唯一的直线与 l 平行D内的直线与 l 都相交解析：不妨设直线lM，过点M 的内的直线与l 不异 面，故A 错误；假设存在与 l 平行的直线 m，则由 ml，得l，这与lM 矛盾，故B 正确；C显然错误；内存在与l 异面的直线，故 D 错误故选 B.答案：B【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线 不在平面内，记作l ，包括直线与平面相
5、交及直线与平面平行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研 究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和 逻辑推理的依据.公理 1 是判断直线在平面内的依据；公理 2 的 作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公 理 3 是证明三多点共线或三线共点的依据.【互动探究】1下列推断中，错误的个数是()AAl，A，Bl，Bl；A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线，重合；l，AlA.A1 个C3 个B2 个D0 个考点 2 空间内两直线的位置关系例 2：如图 8-3-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分)别是 BC1，CD1 的中点，
6、则下列判断错误的是(图 8-3-1AMN 与 CC1 垂直CMN 与 BD 平行BMN 与 AC 垂直DMN 与 A1B1 平行答案：D解析：取CC1中点P，则MPBC，NPC1D1，CC1BC，CC1C1D1，CC1MP，CC1NP，CC1平面MNP，CC1MN，故A正确；取CD中点Q，BC中点R，则NQ12D1D，MR 12CC1.CC1D1D，NQMR.MNQR.QRBD，ACBD，ACMN.故B正确；MNQR，QRBD，MNBD，故C正确故选D.【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用 公理 4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种 判断方法：反证法：先假设两条直线
7、不是异面直线，即两条 直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导 出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面 内不过该点的直线是异面直线.【互动探究】2如图 8-3-2 所示的是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填上所有正确答案的序号)图 8-3-23如图 8-3-3，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在 棱 的 中 点，则 使 直 线 GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图 8-3-3解析：图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点在三棱柱的侧面上
8、，MG 与这个侧面相交于 G，M平面GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因 此GH 与MN 共面；图中，G，M，N 共面，但H平面GMN，因此 GH 与 MN 异面答案：考点3 异面直线所成的角 例3：(人教版选修2-1P92-1)在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1中，若AB2 BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60B90C105D75解析：方法一：如图8-3-4，取线段AB，BC，BB1，B1C1的中点，分别为F，G，E，D，连接EF，ED，DF，FG，DG.设BB11，则ABBCAC 2.AB1BC1 3.EFED12AB1
9、 32，FG12AC 22.又DG1，DF FG2DG2 62.有EF2ED2DF2，EFED.AB1与C1B所成角的大小为90.图834方法二：如图8-3-5，设BB1BL1，则ABKL 2图835有KBBC1 2212 3，KC1 2222 6.有KB2BC21KC21，KBBC1.AB1与C1B所成角的大小为90.方法三：以AB中点O为坐标原点，建立如图8-3-6所示的空间直角坐标系，设BB11，则ABBC 2，OC 22222 62.则A 22，0，0，B22，0，0，C0，62，0，A1 22，0，1，B122，0，1，C10，62，1，AB1(2，0,1)，C1B 22，62，1.
10、AB1 C1B 1010，即AB1与C1B所成角的大小为90.方法四：以A1为原点，以A1C1的垂线A1G，A1C1，A1A的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图8-3-7所示的空间直角坐标系，设BB11，则A1B1 2，A(0,0,1)，B1 62，22，0，C1(0，2，0)，B62，22，1.图836 图837AB1 62，22，1，C1B 62，22，1.AB1 C1B 642410，即AB1与C1B所成角的大小为90.答案：B 【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，只要得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题；求异面
11、直线所成角也可用空间向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法.B【互动探究】4(2014 年大纲)已知在正四面体 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为()A.16B.36C.13D.33 解析：设 AD 的中点为 F，连接 EF，CF，则 EFBD，所以 CE 与 EF 所成的角就是异面直线 CE 与 BD 所成的角设正四面体 ABCD 的棱长为 2a，EFa，CECF 3a，由余弦定理，得 cosCEFa23a23a22a 3a12 3 36.考点 4 三点共线、三线共点的证明例 4：如图 8-3-6，在正方体
12、 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点图 8-3-6证明：(1)如图837，连接EF，CD1，A1B.图837E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，且EF12CD1，四边形CD1FE为梯形CE与D1F必相交设交点为点P，如图8-3-7，则由点PCE，CE平面ABCD，得点P平面ABCD.同理点P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，点P直线DA.CE，D1F，DA三线共点 【规律方法】要证明M，
13、N，K三点共线，由公理3知，只要证明M，N，K都在两个平面的交线上即可.证明多点共线问题：可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.【互动探究】5在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取E，F，G，H 四点，若 EF 与 GH 交于点 M，则()AA点 M 一定在 AC 上B点 M 一定在 BD 上C点 M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上D点 M 既不在 AC 上，也不在 BD 上解析：点 M 在平面ABC 内，又在平面ADC 内，故必在交 线 AC 上