1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (20分钟35分)1.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则ab的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.a+b=(3,k+2),由a+b与a共线,可得3k-(k+2)=0,解得k=1,则a=(1,1),从而ab=12+12=4.2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.ab=31+(-1)(-2)=5,|a|=,|b|=,设a与b的夹角为,则cos =.又0,所以=.3.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且ca,bc=1,则c的坐标为()A.(3,-2)B.(3,2)C.
2、(-3,-2)D.(-3,2)【解析】选C.采用验证的方法知,c=(-3,-2)满足ca=-6+6=0,所以ca,bc=1(-3)+(-2)(-2)=1.4.已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且mn=-1,则|n|=()A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.cos=-,|n|=1.5. (2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则|=;=.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),|=,又=(0,-1),所以=-1.答案:-1【补偿训练】已知
3、=(-3,1),=(0,5),且,(O为坐标原点),则点C的坐标是.【解析】设C(x,y),则=(x,y),又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1),因为,所以5(x+3)-0(y-1)=0,所以x=-3.因为=(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.答案:6.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐标;(3)与a垂直的单位向量的坐标.【解析】(1)因为a=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|=5.(2)与a平行的单位向量是=(4,-3
4、),即坐标为或.(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),则ae=4m-3n=0,所以=.又因为|e|=1,所以m2+n2=1.解得或所以e=或. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020宜宾高一检测)已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)(a-b),则实数m=()A.-4B.4C.2D.4【解析】选D.因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2=4+m2-16-4=0,解得m=4.2.直角坐标系xOy中,=(2,1),=(3,k),若ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由-=(-1,
5、1-k),若 =0,所以k=-6,若=0,所以k=-1,若=0,所以k2-k+3=0,由0知无解.所以k的可能值有2个.3.(2020绵阳高一检测)在ABC中,角A为,角A的平分线AD交BC于点D,已知AD=2,且=-(R),则在方向上的投影是()A.1B.C.3D.【解析】选D.由=-可得:=+,因为B,C,D三点共线,故+=1,即=.所以=+.以A为原点,以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示,则D(3,),设B(m,0),C(n,n),由=+得:,解得m=3,n=3.故B(3,0),所以在方向上的投影为|cos 30=.4.已知向量=(2,2),=(4,1)(O为坐标原点),在x轴上有一
6、点P,使有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0).5.已知向量a=(1,0),b=(cos ,sin ),则|a+b|的取值范围是()A.0,B.1,C.1,2D.,2【解析】选D.|a+b|=.因为,所以cos 0,1.所以|a+b|,2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设向量a与b的夹角为,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cos =.【解析】
7、b=a+(-1,-1)=(1,1),则ab=6.又|a|=3,|b|=,所以cos =1.答案:17.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为.【解析】因为a+tb=(2+t,1+2t),所以|a+tb|=.所以当t=-时,|a+tb|有最小值.答案:-8.若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是.【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1)0,所以4k-6-60,所以k0,即ab=(-2,-1)(t,-2)=-2t+20,所以t1.若ab,可设a=b
8、,所以(-2,-1)=(t,-2),所以所以此时b=2a,所成的角为0,故t=-4不合题意.所以t的取值范围是(-,-4)(-4,1).答案:(-,-4)(-4,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值.(2)若m与n的夹角为,求x的值.【解析】(1)因为m=,n=(sin x,cos x),mn.所以mn=0,即sin x-cos x=0,所以sin x=cos x,所以tan x=1.(2)因为|m|=|n|=1,所以mn=cos=,即sin x-cos x=,所以sin=,因为0
9、x,所以-x-,所以x-=,即x=.10.如图,已知A(1,1),B(5,4),C(2,5),设向量a是与向量垂直的单位向量.(1)求单位向量a的坐标;(2)求向量在向量a方向上的投影;(3)求ABC的面积SABC.【解析】(1)设a=(x,y),依题意有=(4,3),|=5,|a|=1,且a,即a=0,所以解得或所以a=或a=.(2)设向量与单位向量a的夹角为,在a方向上的投影为h,则h=|cos =a.又因为=(1,4),所以当a=时,h=1+4=;当a=时,h=1+4=-.(3)SABC=|h|=5=.1.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足
10、|=1,则|+|的最大值是.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及|=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|+|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.因为圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,故的最大值为+1.答案:+12.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积ab=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.【解析】设Q(c,d),由新的运算可得:=m+n=+=,由消去x得d=sin ,所以y=f(x)=sin,故y=f(x)的值域是.