1、2016-2017学年河北省石家庄市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合P=x|1log2x2，Q=1，2，3，则PQ=（）A1，2B1C2，3D1，2，32复数z=在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设aR，则“a=4是“直线l1：ax+8y3=0与直线l2：2x+aya=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下列函数中为偶函数又在（0，+）上是增函数的是（）ABy=x2+2|x|Cy=|lnx|Dy=2x5执
2、行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（）A2B3C4D56将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）ABCD7已知x，y满足约束条件，则下列目标函数中，在点（4，1）处取得最大值的是（）Az=xyBz=3x+yCz=x+yDz=3xy8若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C，+）D2，+）9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD10如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部
3、分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）ABCD11已知F1，F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（）ABCD12已知定义在（0，+）上的函数f（x），满足（1）f（x）0；（2）f（x）f（x）2f（x）（其中f（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A（，）B（，）C（e，2e）D（e，e3）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13在
4、（x+）8的展开式中x4的系数是14设向量=（4，m），=（1，2），且，则|+2|=15正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得aman=64a，则+的最小值为16在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2=sinC+1（）求角C的大小；（）若a=，c=1，求ABC的面积18已知等差数列an满足：a5=3，前3项和S3为（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和19我国是世界上严
5、重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图（1）求图中a的值并估计样本的众数；（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过吨的按2元/吨收费，超过吨不超过2吨的部分按4元/吨收费，超过2吨的部分按照10元/吨收费用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，至少定为多少？假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当=2时，估计该市居民该月的人均水费20如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，E，F分别为DC，AB的中点，将DAE沿AE折起
6、，使得DEC=120（）求证：平面DCF平面DCE；（）求点B到平面DCF的距离21平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的右焦点为F，离心率e=，过点F且垂直于x轴的直线被圆截得的弦长为1（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M（m，2）（m0）的直线MA，MB与椭圆C分别交于点P，Q，求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标22已知函数f（x）=ax2alnx+x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a0，设g（x）=f（x）x，h（x）=2xlnx+2x，若对任意x1，x21，+）（x1x2），|g（x2）g（x1）|h（x2）h（x1）|恒
7、成立，求实数a的取值范围2016-2017学年河北省石家庄市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合P=x|1log2x2，Q=1，2，3，则PQ=（）A1，2B1C2，3D1，2，3【考点】交集及其运算【分析】求出P中不等式的解集，确定P，找出两集合的交集即可【解答】解：P=x|1log2x2=2，4），Q=1，2，3，则PQ=2，3，故选：C2复数z=在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数
8、的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：z=在复平面上对应的点位于第四象限故选：D3设aR，则“a=4是“直线l1：ax+8y3=0与直线l2：2x+aya=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】通过讨论a，结合直线平行的条件求出直线平行的充要条件，通过比较其和a=4的关系，判断即可【解答】解：当a=4时，两直线分别为4x+8y3=0和2x+4y4=0，满足两直线平行当a=0时，两直线分别8y3=0和2x=0，不满足两直线平行a0，若两直线平行，则=，解得a2=16，则a=4，即“a=4是“直线l1：ax
9、+8y3=0与直线l2：2x+aya=0平行”充分不必要条件，故选：A4下列函数中为偶函数又在（0，+）上是增函数的是（）ABy=x2+2|x|Cy=|lnx|Dy=2x【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可【解答】解：A.是偶函数，当x0时， =（）x是减函数，不满足条件By=x2+2|x|是偶函数，当x0时，y=x2+2|x|=x2+2x是增函数，满足条件Cy=|lnx|的定义域为（0，+），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件Dy=2x在（0，+）上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件故选：B5执行所示的程序框图，如果输入a=3，那
10、么输出的n的值为（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】根据程序框图，依次计算运行的P、Q的值，直到条件PQ不满足，判断此时的n值，可得答案【解答】解：由程序框图得：程序第一次运行P=0+30=1，Q=21+1=3，n=1；第二次运行P=1+31=4，Q=23+1=7n=2；第三次运行P=4+32=13，Q=27+1=15，n=3；第四次运行P=13+33=40，Q=215+1=31，n=4，不满足PQ，程序运行终止，输出n=4故选：C6将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】
11、利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心【解答】解：将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=4sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，所得函数y=4sin2（x）+4sin（2x）图象，令2x=k，求得x=+，kZ，故所得图象的一个对称中心为（，0），故选：D7已知x，y满足约束条件，则下列目标函数中，在点（4，1）处取得最大值的是（）Az=xyBz=3x+yCz=x+yDz=3xy【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进
12、行求解即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，A由z=xy得y=xz，平移直线y=xz，由图象知当直线y=xz经过C时直线的截距最小，此时最大，此时在A（4，1）处不是最大值，不满足条件B由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象知当直线y=3x+z经过A时直线的截距最小，此时z最小，不满足条件C由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象知当直线y=x+z经过C时直线的截距最小，此时z最小，此时在A（4，1）处不是最大值，不满足条件D由z=3xy得y=3xz，平移直线y=3xz，由图象知当直线y=3xz经过A时直线的截距最小，此时z最大，满足条件，故选：D
13、8若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，+）C，+）D2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为ax+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：函数f（x）=x2+x+1，f（x）=x2ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2ax+10在（，3）恒成立，即ax+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x（，3），g（x）=，令g（x）0，解得：x1，令g（x）0，解得：x1，g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a
14、故选：C9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱根据数据即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱该几何体的表面积=+12+212+=+1故选：C10如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】欲求所投的点落在叶形图内部
15、的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）=（）=所以P（A）=故选：A11已知F1，F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设|AF1|=t，|AB|=5x，结合|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，
16、得到ABF2为直角三角形，结合勾股定理建立方程关系进行求解即可【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=5x，则|BF2|=12x，|AF2|=13x，根据双曲线的定义，得|AF2|AF1|=|BF1|BF2|=2a，即13xt=（5x+t）12x=2a，解得t=10x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，得ABF2是以B为直角的Rt，则|BF1|=t+5x=10x+5x=15x=15a=10a，|BF2|=12x=12a=8a，则|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2，即100a2+64a2=4c2，即164a2=4c2，则41a2=
17、c2，即c=a，因此，该双曲线的离心率e=故选：B12已知定义在（0，+）上的函数f（x），满足（1）f（x）0；（2）f（x）f（x）2f（x）（其中f（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A（，）B（，）C（e，2e）D（e，e3）【考点】导数的运算【分析】根据题给定条件，设构造函数g（x）=与h（x）=，再利用导数判断在（1，2）上函数的单调性【解答】解：设g（x）=，则g（x）=0g（x） 在（0，+）上单调递增，所以g（1）g（2），即；令h（x）=，则h（x）=h（x）在（0，+）上单调递减，所以h（1）h（2），即综上，且 故选：B二、填空题：（本大题共4
18、各小题，每小题5分，共20分）13在（x+）8的展开式中x4的系数是7【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中x4的系数【解答】解：（x+）8的展开式的通项公式为Tr+1=，令8=4，可得r=3，故展开式中x4的系数为=7，故答案为：714设向量=（4，m），=（1，2），且，则|+2|=2【考点】向量的模【分析】由，可得=0，解得m再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出【解答】解：，=42m=0，解得m=2=（4，2）+2（1，2）=（6，2）|+2|=2故答案为：215正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存在am，
19、an，使得aman=64a，则+的最小值为2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】求出公比为2，利用等比数列an中存在两项am，an，使得aman=64a12，可得2m+n2=26，化为m+n=8再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，q2q2=0，公比为q=2，等比数列an中存在两项am，an，使得aman=64a12，a10，2m+n2=26，m+n=8+=（m+n）（+）=（10+）（10+6）=2，当且仅当n=3m=6时取等号+的最小值为2故答案为：216在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AC=5，则直三棱柱内切球的
20、表面积的最大值为25（33）【考点】球的体积和表面积【分析】棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论【解答】解：设棱柱的内切球的半径为r，则RtABC的内切圆为球的大圆，设AB=a，BC=b，则a2+b2=25，由等面积可得，r=设a=5cos，b=5sin，则r=，设t=cos+sin，（|t|），r=（t1），rmax=（1），直三棱柱内切球的表面积的最大值为25（33）故答案为：25（33）三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2=sinC+1（）
21、求角C的大小；（）若a=，c=1，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosC=sinC，结合范围C（0，），即可求得C的值（）由正弦定理可求sinA=1，进而可得A=，B=C=，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为10分）解：（）2sin2=sinC+1，在ABC中，A+B+C=，2cos2=sinC+1，可得：cosC=sinC，C（0，），C=（）在ABC中，由正弦定理： =，sinA=1，A=，B=C=，SABC=bc=18已知等差数列an满足：a5=3，前3项和S3为（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n
22、项和【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列an的通项公式（2）令=2（），利用裂项求和法能求出数列的前n项和【解答】解：（1）在等差数列an中设首项为a1，公差为d，a5=3，前3项和S3为，解得，an=（2）令=2（），数列的前n项和：Tn=2（）=2（）=19我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图（1）求图中a的值并估计样本的众数；（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过吨的按2
23、元/吨收费，超过吨不超过2吨的部分按4元/吨收费，超过2吨的部分按照10元/吨收费用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，至少定为多少？假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当=2时，估计该市居民该月的人均水费【考点】频率分布直方图【分析】（1）由频率和为1，求出a的值，根据众数的定义得出众数的值；（2）根据题意得出月用水量在0，2.5内的频率为0.75，从而得出的值；=2时，计算居民月用水量对应的该月人均水费即可【解答】解：（1）由频率分布直方图可知每段内的频率是：0，0.5：0.04；（0.5，1：0.08；（1，1.5：0.15； （1.5，2：0.22
24、； （2，2.5：0.26； （2.5，3：0.5a；（3，3.5：0.06；（3.5，4：0.04； （4.4.5：0.02；则由0.04+0.08+0.15+0.22+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.26，众数为2，2.5的中点值2.25；（2）由（1）可知月用水量在0，2.5内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，的值至少为1.25；若=2，当居民月用水量在0，2时，居民该月的人均水费为：（0.040.5+0.081+0.151.5+0.222）2=1.53；当居民月用水量在（2，2.5时，居民该月的人均水费为：（22+0.
25、54）0.26=1.56，当居民月用水量在（2.5，3时，居民该月的人均水费为：（22+14）0.13=1.04，当居民月用水量在（3，3.5时，居民该月的人均水费为：（22+1.54）0.06=0.6，当居民月用水量在（3.5，4时，居民该月的人均水费为：（22+24）0.04=0.48；当居民月用水量在（4，4.5时，居民该月的人均水费为：（22+24+0.510）0.02=0.34；居民月人均水费为1.53+1.56+1.04+0.6+0.48+0.34=5.55元20如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，E，F分别为DC，AB的中点，将DAE沿AE折起，使得DEC=120
26、（）求证：平面DCF平面DCE；（）求点B到平面DCF的距离【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【分析】（）由AEDE，AECE，知AE面DCE，从而CF面DCE，由此能证明平面DCF平面DCE（2）过点E作z轴面ABCE，如图，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面DCF的距离【解答】证明：（）由已知AEDE，AECE，DECE=E，AE面DCE，又AECF，CF面DCE，又CF面DCF，平面DCF平面DCE解：（2）AEDE，AECE，DEC=120，过点E作z轴面ABCE，如图，建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（，0，0），C（0，1，0），D（0，），
27、B（，2，0），F（，1，0），=（，），=（0，），=（，），设平面DCE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），点B到平面DCF的距离d=21平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（ab0）的右焦点为F，离心率e=，过点F且垂直于x轴的直线被圆截得的弦长为1（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M（m，2）（m0）的直线MA，MB与椭圆C分别交于点P，Q，求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由离心率e=，可得a2=4b2，由过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，可得=1，解出即可得出（2）
28、点M（m，2），A（0，1），B（0，1）直线MA方程为：y=x+1，直线MB方程为：y=x1分别与椭圆=1联立方程组，可得： =0， =0，解得xP，xQ，可得yP，yQP，Q坐标可得直线PQ方程，即可证明【解答】（1）解：由离心率e=，可得a2=4b2，过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，=1，解得b=1，a=4，椭圆C方程为=1（2）证明：点M（m，2），A（0，1），B（0，1）直线MA方程为：y=x+1，直线MB方程为：y=x1分别与椭圆=1联立方程组，可得： =0， =0，解得xP=，xQ=，可得：yP=xP+1=，同理可得yQ=P，Q直线PQ的斜率k=，则直线PQ方程为
29、：y=化简可得直线PQ的方程为：yx直线PQ恒过定点22已知函数f（x）=ax2alnx+x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a0，设g（x）=f（x）x，h（x）=2xlnx+2x，若对任意x1，x21，+）（x1x2），|g（x2）g（x1）|h（x2）h（x1）|恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，令F（x）=g（x）h（x）=ax2alnx+2xlnx2x，求出函数的导数，令G（x）=ax+2lnx，根据函数的单调性求出a的范围即可【
30、解答】解：（1）f（x）=ax+1=，令t（x）=ax2+xa，当a0时，令g（x）=0，解得：x1=0，x2=0，所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+）上单调递增（2）g（x）=ax=，因为a0，当x1时，g（x）0，g（x）在1，+）单调减；h（x）=2lnx，当x1时，h（x）0，h（x）在1，+）单调减因为对任意x1，x21，+），|g（x2）g（x1）|h（x2）h（x1）|，不防设x1x2，则由两函数的单调性可得：g（x1）g（x2）h（x1）h（x2），所以：g（x1）h（x1）g（x2）h（x2）对任意x1x21，+）恒成立；令F（x）=g（x）h（x）=ax2a
31、lnx+2xlnx2x，则F（x1）F（x2）对任意x1x21，+）恒成立；即：y=F（x）在x1，+）上单调减，即：F（x）=ax+2lnx0在x1，+）上恒成立，令G（x）=ax+2lnx，G（x）=，当a1时，ax2+2x+a0在x1，+）恒成立，所以G（x）0，G（x）在1，+）单调减，所以G（x）G（1）=0，满足题意，当1a0时，G（x）有两个极值点x1，x2且x1=1，x2=1，所以在（1，x1）上，G（x）单调增，即：G（x）G（1）=0对任意x（1，x1）上恒成立，不满足题意，舍！综上所述：当a1时，不等式|g（x2）g（x1）|h（x2）h（x1）|在x1，x21，+）恒成立2017年1月3日