1、第二章单元质量测评 对应学生用书P53 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1如图所示，图中点、线、面的位置关系用符号语言可表示为()Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An答案A解析点、线、面的位置关系，点与线和面的关系用，线与平面的关系用，所以题图中点、线、面的位置关系表示为“m，n，mnA”，故选A2E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是()A异面 B平行 C相交 D重合答案C解析如图所示，连接BD，
2、EF，FG，GH，HE，EG，HF，由E，F，G，H是空间四边形ABCD四边的中点，有EH綊BD，FG綊BD，EH綊FG，四边形EFGH是平行四边形，EG与FH是对角线，故选C3设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有()A1条 B2条 C3条 D4条答案B解析如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在的直线，当BC与l平行时，直线AC，AB都满足条件故选B4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A30 B45C60 D90答案D解析如图，过点M作MEDN交CC1于点E，连接A1E，则
3、A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)设正方体的棱长为a，则A1Ma，MEa，A1Ea，所以A1M2ME2A1E2，所以A1ME90，即异面直线A1M与DN所成的角为905已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D若，不平行，则在内不存在与平行的直线答案C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；
4、若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确6从平面外一点P引平面的垂线PO和斜线PA，PB，已知PA8，PB5，且OAOB4，则点P到平面的距离是()A3 B4 C5 D6答案B解析设OA4k，则OBk在RtPOA中，PO2PA2OA26416k2在RtPOB中，PO2PB2OB2253k2所以6416k2253k2，所以k23，所以PO216，PO47在直三棱柱(侧棱垂直底面)ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ()A30 B45 C60 D90答案C解析本题可借助正方体模型
5、求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角在A1BD1中，A1BA1D1BD1，所以BA1与BD1所成的角为608设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，ABAC2，BAC90，AA12，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A4 B8 C16 D12答案D解析由题意知，三棱柱的底面所在的截面圆的直径2r2，则球的半径R，球的表面积S4R212，故选D9在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的平面角的余弦值为()A B C D答案C解析如图，取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BEAC，其余各棱长都为1，BFCD
6、，ADCD，EFCDBFE是二面角ACDB的平面角EF，BE，BF，EF2BE2BF2BEF90，cosBFE10已知正四棱柱(底面为正方形侧棱垂直底面)ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A B C D答案C解析如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接A1B，过E作EFA1B，交A1B于FA1D1綊AD綊BC，A1D1綊BC，四边形A1BCD1为平行四边形，A1BCD1，A1BE是异面直线BE与CD1所成的角或其补角设ABa，则AA12a，则AEA1Ea，BEa，A1Ba，在RtA1AB中，sinAA1B，在RtA1EF
7、中，sinAA1B，EFaa在RtBFE中，cosA1BE11如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ故选A解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A12如图，在三棱柱
8、ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，ABBCCACF2，AA13，则下列说法正确的是()A设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥NADF的体积为C设点M在BB1上，当BM1时，平面CAM平面ADFD在棱A1B1上存在点P，使得C1PAF答案C解析连接CE交AD于点O，则O为ABC的重心，连接OF由已知得OFEC1，则EC1l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则VNADFVDAFN，当N与C1重合时，VDAFN取最小值为，故B错误；当BM1时，可证得CBMFCD，则BCMCDF90，即
9、CMDF又AD平面CB1，CM平面CB1，ADCMDFADD，CM平面ADFCM平面CAM，平面CAM平面ADF，故C正确过C1作C1GFA交AA1于点G若在A1B1上存在点P，使得C1PAF，则C1PC1G又C1PGA1，C1GGA1G，C1P平面A1C1GA1C1平面A1GC1，C1PA1C1，矛盾，故D错误综合选C第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，CD，EF，AB，AB，则CD与EF的位置关系为_答案CDEF解析因为AB，AB，CD，所以ABCD同理可证ABEF，所以CDEF14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q分别是B
10、1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是_(填“平行”“相交”或“异面”)答案相交解析连接A1D，PQ，B1C，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，PQB1C在正方体中，易知B1CA1D，PQA1D，A1，D，Q，P共面又PQA1D，四边形A1DQP是梯形，A1P与DQ相交15已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_答案(或)解析，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，若mn，n，则m又m，即若，n，则n，又m，mn即16在如图所示的棱长为2的正方
11、体ABCDA1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_；截得的平面图形中，面积最大的值是_答案23解析截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为(2)22截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6()23三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(本小题满分10分)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1MDNa(0a)，连接MN(1)证明：对任意a(0，)，总有MN平面DCC1D1；(2)当a为何值时，MN的长度最小？解(1)证明：如图，作MPAD，交DD1于点P，作NQBC，交
12、DC于点Q，连接PQ由题意得MPNQ，且MPNQ，则四边形MNQP为平行四边形MNPQ又PQ平面DCC1D1，MN平面DCC1D1，MN平面DCC1D1(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，MNPQDD1ADDCBC1，AD1BDD1MDNa，即D1PDQ，MNPQ(0a)故当a时，MN的长度有最小值，为即当M，N分别移动到AD1，BD的中点时，MN的长度最小，此时MN的长度为18(本小题满分12分)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值解(1)在ABC中，AB1，A
13、C2，BAC60，过点B作BN垂直AC于点N，则BNABsinBAC1sin60，SABCACBN2又PA平面ABC，PA是三棱锥PABC的高VPABC1(2)证明：过N作NMPA交PC于点M，连接BMPA平面ABC，MN平面ABCAC平面ABC，MNAC又MNBNN，AC平面BMNBM平面BMN，ACBM此时M即为所找的点在ABN中，易知ANAB，19(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，过棱PD的中点E作截面EFGH，使截面EFGH平面PBC，且截面EFGH分别交棱PA，AB，CD于点F，G，H(1)证明：EFGH
14、；(2)求三棱锥FABD的体积解(1)证明：平面EFGH平面PBC，平面EFGH平面PCDEH，平面PBC平面PCDPC，EHPC又E是PD的中点，H是CD的中点同理可证F，G分别是PA，AB的中点，EFAD，GHAD，EFGH(2)如图，连接AC，设ACBDO，连接PO底面ABCD是边长为2的正方形，ACBD，且ACBD4侧面为全等的等腰三角形，POAC，POBD又ACBDO，PO平面ABCD在RtPOA中，PO 1又F为PA的中点，VFABDVPABD又VPABDSABDPO(2)21，VFABD20(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA14，
15、A1在底面ABC上的射影为BC的中点，D为B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE因为ABAC，所以AEBC所以AE平面A1BC连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEBB1，且DEBB1，从而DEAA1，且DEAA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1DAE因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC(2)如图，作A1FDE，垂足为F，连接BF因为A1E平面ABC，所以BCA1E因为BCAE，所以BC平面AA1DE所以BCA
16、1F，所以平面AA1DEBB1C1C，所以A1F平面BB1C1C所以A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角由ABAC2，BAC90，得EAEB又A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F所以sinA1BF21(本小题满分12分)BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D5，A1A24，沿BCD三边分别将A1BD，A2BC，A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A(1)求证：ABCD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1BA2B2，A1DA3D5，A2CA3
17、C作DFA2A3于点F，则FA33A3CA2C4(1)证明：折叠后的图形如图所示， ABAD，ABAC，ADACA，AB平面ACD，ABCD(2)作AECD于点E，连接BEABCD ，ABAEA，CD平面ABE，CDBE，则AEB为平面BCD与平面ACD所成二面角的平面角在ACD中，AE，AB平面ACD，ABAE，tanAEB22(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC2AB，且BC1A1C(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)点D在边A1C1上且C1DC1A1，证明在线段BB1上存在点E，使DE平面ABC1，并求此时的值解(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，四边形ACC1A1是矩形AA1AC，AC1A1C又BC1A1C，AC1BC1C1，A1C平面ABC1A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1ACC1(2)当时，DE平面ABC1，在A1A上取点F，使，连接EF，FD，EFAB，DFAC1ABAC1A，EFDFF，平面EFD平面ABC1，DE平面DEF，ED平面ABC1
