1、第二章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念 1了解构成函数的要素2会求一些简单函数的定义域和值域3了解映射的概念1映射的概念设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射，通常记为 f：AB.2函数的概念 (1)函数的定义：设 A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，通常记为 yf(x)，xA.(2)函
2、数的定义域、值域：定义域值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数 yf(x)的_；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA称为函数 yf(x)的值域(3)函数的三个要素：定义域、_和对应关系 f.A2，)C(，3)(3，)B2,3)D2,3)(3，)1(2013 年广东茂名一模)函数 f(x)x2 1x3的定义域是()D解析：由题意，得x2，x3.故选 D.3(2013 年江西)函数 y xln(1x)的定义域为(A(0,1)B0,1)C(0,1D0,12下列函数中与函数 yx 相同的是()Ay(x)2By3 x3Cy x2Dyx
3、2xB)解析：由题意，得自变量满足x0，1x0.解得 0 x1，即函数 y xln(1x)的定义域为0,1)故选 B.B4设 Mx|0 x2，Ny|0y3，给出如图 2-1-1所示的四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是_(填序号)图 2-1-1考点1 有关映射与函数的概念例1：若集合 A1,2,3，k到集合 B4,7，a4，a23a是一个映射，对应关系为 f：xy3x1，则自然数 a_，自然数 k_；集合 A_，B_.aN，方程组(1)无解解方程组(2)，得 a2 或 a5(舍去)则 3k116,3k15，k5.A1,2,3,5，B4,7,10,16答案：251,2,3,
4、54,7,10,16(1)a410，a23a3k1，或(2)a23a10，a43k1.解析：令 yf(x)，f(1)3114，f(2)3217，f(3)33110，f(k)3k1.由映射的定义知，【规律方法】理解映射的概念，应注意以下几点：集合 A，B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对 应，它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；不要求集合 B 中的每一个元素在集
5、合 A 中都有原象【互动探究】1给定集合 Px|0 x2，Qy|0y4，下列从 P到 Q 的对应关系 f 中，不是映射的是()CAf：xy2x52Bf：xyx2Df：xy2x解析：当x2时，52x5，集合Q中没有元素与之对应故不是映射Cf：xyx考点 2 判断两个函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一个函数？(1)f(x)x2，g(x)3 x3；(2)f(x)|x|x，g(x)1 x0，1 x0；(3)f(x)2n1 x2n1，g(x)2n1 x2n1，nN*；(4)f(x)x x1，g(x)x2x；(5)f(x)x22x1，g(t)t22t1.解：(1)由于f(x)x2|x
6、|，g(x)3 x3x，故它们的对应关系不相同，它们不是同一个函数(2)由于函数f(x)|x|x 的定义域为(，0)(0，)，而g(x)1 x0，1 x0，log2x1，解得 x2.答案：C【规律方法】(1)求定义域的一般步骤：写出使得函数式有意义的不等式(组)；解不等式(组)；写出函数的定义域(2)常见的一些具体函数的定义域：有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方 数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且 不等于 1.【互动探究】A(1，)B1，)C(1,1)(1，)D1,1)(1，)3(2013年广东)函数f(x)lgx1x1 的定义域是()C解析：x10，x10
7、，即x1，且x1.故选C.4若函数f(x)1x1，则函数yff(x)的定义域为_x|xR，x1，且 x2解析：f(x)1x1，ff(x)11x11.要使函数有意义，应满足x10，1x110，即x1，且x2.故函数的定义域是x|xR，x1，且x2易错、易混、易漏对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2)若函数 f(x 1)的定义域为2,3，则 f(x)的定义域为_，f(2x1)的定义域为_；(3)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_，f(x)1 的值域为_正解：(1)若函数f(x)的定义域为2,3，则对f(x1
8、)，有2x13.解得3x4，即f(x1)的定义域为3,4(2)若函数f(x1)的定义域为2,3，即2x3，有1x12，则f(x)的定义域为1,2而对f(2x1)，有12x12，解得0 x12.即f(2x1)的定义域为0，12.(3)f(x1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，不改变值域.f(x)1的图象是将f(x)的图象向下平移1个单位长度得到的.故f(x1)的值域为2,3，f(x)1的值域为1,2答案：(1)3,4 (2)1,20，12(3)2,31,2【失误与防范】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理 解三种情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求 u(x)的值域；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用第(2)小题的 方法求 f(x)的定义域，然后利用第(1)小题的方法求解