1、第二课时一般形式的柯西不等式基础达标1.若实数a、b、c均大于0，且abc3，则的最小值为A.3 B.1 C.D.解析3(a2b2c2)(121212)(a2b2c2)(1a1b1c)2(abc)29，a2b2c23，故选D.答案D2.设a，b，c0，且abc1，则的最大值是A.1 B. C.3 D.9解析由柯西不等式，得()2()2()2(121212)()2，则()2313.当且仅当abc时等号成立.故的最大值为.答案B3.已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为A.24 B.30 C.36 D.48解析(xyz)36，故36.答案C4.设a，b，c为正数，则(abc)的最小值是_
2、.解析(abc)()2()2()2(236)2121.当且仅当时等号成立.答案1215.已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1.(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解析(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x)mxm.又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.原不等式得证.能力提升1.已知a，b，cR，且abc1，则a2b2c2的最小值为A.1B.4C. D.答案C2.设a1，a2，an为实数，P，Q，则P与Q间
3、的大小关系为A.PQ B.PQC.PQ D.不确定答案B3.已知x2y2z21，则x2y2z的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4解析由柯西不等式，得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.当且仅当x时，右边等号成立.所以x2y2z的最大值为3.答案C4.若a，b，c为正数，则的最小值为A.1 B.1 C.3 D.9答案D5.已知x，y是实数，则x2y2(1xy)2的最小值是A. B. C.6 D.3解析由柯西不等式，得(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)21，即x2y2(1xy)2，当且仅当xy1xy，即xy时，x2y2(1xy)2取得最小值.
4、答案B6.设m，n，p为正实数，且m2n2p20，则的最小值为A.0 B.3 C.1 D.答案D7.设a，b，c，d均为正实数，P(abcd)，则P的最小值为_.答案168.已知a，b，c是正实数，且abbcac1，则abc的最大值为_.解析因为a，b，c是正实数，且abbcac1，所以，所以(abc)2，所以abc，当且仅当abc时等号成立，即abc的最大值为.答案9.设xyz19，则函数u的最小值为_.答案10.设a，b，c为正数，求证：abc.证明(abc)()2()2()2(abc)2，即(abc)(abc)2，又a，b，cR，abc0，abc.11.设a，b，c为正数，求证：(abc).证明由柯西不等式得ab，即ab.同理bc.ca.将以上三个不等式同向相加得( )2(abc).(abc).12.已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.解析(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc，又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值为.
