1、第2讲参数方程基础知识整合1参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(*)，如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数2直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan(xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)(xa)2(yb)2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)双曲线1(a0，b0)(为参数)抛物线y22px(t为参数)1参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致2
2、普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)1直线(t为参数)的倾斜角为()A70 B20 C160 D110答案B解析x1tsin701tcos20，y2tcos702tsin20，直线的倾斜角为20.2若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为()A B C D答案D解析y23，即yx，故直线的斜率为.3(2019北京高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则点(1,0)到直线l的距离是()A B C D答案D解析由题意可知直线l的普通方程为4x3y20，由点到直线的距离公式可得点(
3、1,0)到直线l的距离d.故选D.4以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为()A B2 C D2答案D解析由题意，得直线l的普通方程为xy40，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，则圆心到直线l的距离d，设圆C的半径为r，则弦长22.5在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_答案3解析由题意，知在直角坐标系下，直线l的方程为yxa，椭圆的方程为1，所以其右顶点为(3,0)由题意，知03a，所以a3
4、.6在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析因为(sin3cos)0，所以sin3cos，所以y3x.由消去t，得y2x24.由解得或不妨令A，B，由两点间的距离公式，得|AB|2.核心考向突破考向一参数方程与普通方程的互化例1(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最
5、小值解(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)，l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，0)圆心(a,0)到直线l的距离为d，因为21，所以d2a2，解得a13(a10舍去)，所以圆M的半径为13.直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)且倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t1t2|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.即时训练2.(201
6、9成都一诊)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2sin.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(0，1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为xy10.曲线C的极坐标方程可化为22，即22sin2cos，x2y22y2x，故曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)将直线l的参数方程代入(x1)2(y1)22，得222，化简，得t2(12)t30.0，此方
7、程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1t221，t1t23，故t1，t2同正由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|PB|t1|t2|t1t221.3(2019南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C的极坐标方程；(2)设点M(2,1)，直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|MB|的值解(1)由曲线C的参数方程为(为参数)，得C的普通方程为(x4)2(y3)24，所以C的极坐标方程为28cos6sin210.(2)设点A，B对应的
8、参数分别为t1，t2，将代入(x4)2(y3)24，得t2(1)t10，所以t1t21，直线l：(t为参数)可化为所以|MA|MB|2t1|2t2|4|t1t2|4.考向三极坐标方程与参数方程的综合例3(1)(2019河北唐山一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数，0)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos.求l和C的直角坐标方程；若l与C相交于A，B两点，且|AB|8，求.解当时，l：x1，当时，l：ytan(x1)由sin24cos，得2sin24cos，因为xcos，ysin，所以C的直角坐标方程为y24x.将直线l
9、的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得(sin2)t2(4cos)t40，则t1t2，t1t2，因为|AB|t1t2|8，所以sin或，因为00)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin，l与x轴交于点M.(1)求l的直角坐标方程，点M的极坐标；(2)设l与C相交于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值解(1)由2sin，得sincos，将siny，cosx代入，得yx，l的直角坐标方程为yx.令y0，得点M的直角坐标为(1,0)，点M的极坐标为(1，)(2)由(1)，知l的倾斜角为，参数方程为(t为参数)，代入y22px，得3t
10、24pt8p0，t1t2，t1t2.|AB|2|MB|MA|，(t1t2)2t1t2，(t1t2)25t1t2.25，p.5(2019许昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数，t0)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：cos.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为，求t的值解(1)因为直线l的极坐标方程为cos，即cossin2，所以直线l的直角坐标方程为xy2.因为曲线C的参数方程为(为参数，t0)，所以曲线C的普通方程为y21(t0)，由消去x，得(1t2)y24y4t20，所以164(1t2)(4t2)0，所以0t0，所以t. .