1、第 5 讲指数式与指数函数1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点1根式(1)根式的概念：一般地，如果 xna，那么 x 就叫做 a 的 n 次方根，其中n1 且 nN*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数(2)根式的性质：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根记作 n a；当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，a 的 n 次方根可记作_；(n a)na；当 n
2、为奇数时，n an_，当 n 为偶数时，n an|a|a a0，a a0，m，nN*，且 n1)(2)正数的负分数指数幂的意义：amn 1mna 1n am(a0，m，nN*，且 n1)指数函数图象3有理数指数幂的运算性质(1)aras_(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)r_(a0，b0，rQ)4指数函数的图象与性质arsarbryax(a1)yax(0a1)yax(0a0)B.26 y y13(y0)Dx13 3 x(x0)CA 则 m，n 的大小关系为_3已知 a 512，函数 f(x)ax，若实数 m，n 满足 f(m)f(n)，m0，则(2x143
3、32)(2x14332)4x12(xx12)_.考点2 指数函数的图象A1 个B2 个C3 个D4 个例 2：已知实数 a，b 满足等式 12a 13b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()解析：在同一直角坐标系中作出函数 y 13x，y 12x的图象，如图 D1.答案：B当 x0 时，若 12a 13b，则 ab0 时，若 12a 13b，则 0ba，成立；当 x0 时，若 12a 13b，则 ab0，成立故不成立故选 B.图 D1【规律方法】实数 a，b 满足等式 12a 13b，就是要判断在同一坐标系中函数y 13x，y 12x的函数值什么时
4、候相等，利用两个函数的图象与直线 ym 的交点来判断.【互动探究】ABCD2函数 f(x)xax|x|(0a1)的图象的大致形状是()D3(2013 年广东珠海二模)已知实数 a，b 满足等式 2a3b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0.其中有可能成立的关系式有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：如图 D2，正确故选 C.图 D2C 考点3 指数函数的性质及应用例 3：已知 f(x)exax1.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在定义域 R 上单调递增，求 a 的取值范围当a0 时，f(x)的单调递增区间为lna，)解：(1)f(x)exax1，f
5、(x)exa.令f(x)0，得 exa，当a0 时，有f(x)0 在R 上恒成立；当a0 时，有exelna，即xlna.综上所述，当a0 时，f(x)的单调递增区间为(，)；(2)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在 R 上单调递增，f(x)exa0 恒成立，即 aex，xR 恒成立xR 时，ex(0，)，a0，a1)在1,2上的最大值为 4，则其在1,2上的最小值为_或1 12 16解析：当a1时，函数f(x)ax单调递增，则最大值为 a24，a2，最小值为a112；若0a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大a3，则a的值为_解析：当0a1时，f(x)ax在1,2上单调递增，a2aa3，a43.答案：43或23(2)若关于 x 的方程|ax1|2a(a0，且 a1)有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是()A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D.0，12解析：当a1时，如图2-5-1(1)为y|ax1|的图象，与y2a显然无两个交点；当0a1时，如图2-5-1(2)，要使y2a与y|ax1|的图象有两个交点，应有2a1，0a0且a1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应运用分类讨论的数学思想，分a1和0a0，且a1的图象，应抓住三个关键点：1，a，0，1，再利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其他图象.11,a，