1、第三章 数系的扩充与复数的引入(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析32i，故对应的点(3，2)位于第三象限故选C.答案C2已知复数z1i(i是虚数单位)，则z2A2 B2iC24i D24i解析z1i，z2(1i)22i2.答案A3若zcos isin (i为虚数单位)，则使z21的值可能是A. B.C. D.解析z2cos 2isin 21，.22k(kZ)，k(kZ)令k0知D正确答案D4(
2、2018全国卷)设z2i，则|z|A0 B.C1 D.解析通解因为z2i2ii2ii，所以|z|1，故选C.优解因为z2i，所以|z|1，故选C.答案C5在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A48i B82iC24i D4i解析复数65i对应A点坐标为(6，5)，23i对应B点坐标为(2，3)由中点坐标公式知C点坐标为(2，4)，点C对应的复数为24i，故选C.答案C6已知a0，b0，且(1ai)(bi)5i(i是虚数单位)，则abA. B2C2 D4解析由题意得(1ai)(bi)(ba)(1ab)i5i，则，又a0，b0，所以ab2，则
3、ab4.答案D7复数z(mR，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析z.不存在mR，使m40且m10，即z的实部和虚部不能同时为正故选A.答案A8已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是A(1，5) B(1，3)C(1，) D(1，)解析由于复数z的实部为a，虚部为1，且0a2，所以由|z| 得1|z|2.点(a，b)在圆x2y22外答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13(2018江苏)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_解析复数z(12i)(i)2i的实部是
4、2.答案214已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1i)1ni，则_解析由m(1i)1ni，得mn1，所以i2 018i21.答案115关于x的不等式mx2nxp0(m，n，pR)的解集为(1，2)，则复数mpi(i为虚数单位)在复平面内所对应的点位于第_象限解析mx2nxp0(m，n，pR)的解集为(1，2)，m0.故复数mpi在复平面内所对应的点位于第二象限答案二16已知复数z112i，z21i，z332i，其中i是虚数单位，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若xy，其中O为坐标原点，则xy的值是_解析由题意知，z1，z2，z3在复平面内对应的点的坐标分别为A(1，2)，B(1
5、，1)，C(3，2)，(1，2)，(1，1)，(3，2)xy，.解得，则xy5.答案5三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)计算：(1)；(2)；(3).解析(1)原式1i.(2)原式iii1 009ii42521ii2i.(3)原式i61i.18(12分)已知复数z，是z的共轭复数，求z的值解析z(i)(1i)(i)，z.19(12分)已知关于t的方程t22ta0的一个根为1i(aR)(1)求方程的另一个根及实数a的值；(2)若xm23m6在x(0，)上恒成立，试求实数m的取值范围解析(1)设t1，t2为方程的两个根，t1t22，方
6、程的另一个根为1i，a(1i)(1i)4.(2)由xm23m6对x(0，)恒成立，(x)minm23m6，即4m23m6.m23m20m1，220(12分)已知z1i.(1)如果z234，求的值；(2)如果1i，求实数a，b的值解析(1)z1i，z234(1i)23(1i)41i.(2)由1i，z1i得1i，1i.(ab)(a2)i(1i)i1i，解得21(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z.解析设zxyi，x，yR，如图OABC，|OC|BA|，kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或|OA|BC|，x23，y24(舍去)，故z5.22(12分)已知z1xyi，1是z1的共轭复数(x，yR)且x2y21，z2(34i)z1(34i)1.(1)求证：z2R；(2)求z2的最大值和最小值解析(1)证明z1xyi，1xyi(x，yR)，z112x，z112yi.z2(34i)z1(34i)13(z11)4i(z11)6x8yi26x8yR.(2)x2y21，设u6x8y，代入x2y21消去y，得64x2(6xu)264，100x212uxu2640.xR，0，144u24100(u264)0，u21000，10u10，z2的最大值为10，最小值为10.