1、第四章 三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识整合1角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度；弧长公式：l|r；扇形面积公式：S扇形lr|r2.说明：公式中的必须为弧度制！3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则siny，cosx，tan(x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴
2、上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线(3)三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦1任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin，cos，tan(x0)2象限角3轴线角4重要结论若，则tansin. 1(2019山东枣庄模拟)设角的终边与单位圆相交于点P，则sincos的值是()A B C. D答案A解析由题意知sin，cos，所以sincos.故选A.2.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四
3、象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析中是第三象限角，故错，从而是第三象限角，正确，40036040，从而正确，31536045，从而正确故选C.3下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确4若sincos0，则角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第二或第四象限角答案D解析因为sincos0，所以或所以角是第二或第四象限角故选D.5单位圆中，200的圆
4、心角所对的弧长为()A10 B9 C. D答案D解析单位圆的半径r1,200的弧度数是200，由弧度数的定义得，所以l.6(2019三明模拟)若420角的终边所在直线上有一点(4，a)，则a的值为_答案4解析由三角函数的定义有：tan420.又tan420tan(36060)tan60，故，得a4.核心考向突破考向一角的概念及表示例1(1)设集合M，N，判断两集合的关系为()AMN BMNCNM DMN答案B解析解法一：由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN.解法二：在集合M中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇数；在集合
5、N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.故选B.(2)已知角的终边在第二象限，则的终边在第_象限答案一或三解析因为角的终边在第二象限，所以k2k2，kZ，所以kk，kZ.所以当k2m(mZ)时，m2m2，此时的终边在第一象限；当k2m1(mZ)时，m2m2，此时的终边在第三象限综上，的终边在第一或第三象限1终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角2象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
6、 (2)转化法：先将已知角化为2k(0,2)，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角3求或n(nN*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示(2)两边同除以n或乘n.(3)对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限(4)对判断象限问题可采用等分象限法即时训练1.(2019绵阳质检)点A(sin2019，cos2019)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析sin2019sin219sin390，cos2019cos219cos390.选C.2(2019潍坊模拟)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是
7、()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二三角函数的定义及其应用角度1利用定义求三角函数的值例2(1)已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0时，r5a，sin，cos，tan；当a0时，r5a，sin，cos，tan.角度2判断三角函数值的符号例3(1)(2019吉林模拟)若sintan0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析角在第三象限时，sin0，cos0，tan0，满足题意选C.(2)sin2cos3tan4
8、的值()A小于0 B大于0 C等于0 D不存在答案A解析234，sin20，cos30，tan40.sin2cos3tan40.选A.角度3利用三角函数的定义求参数例4(1)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosx，则tan()A. B C D答案D解析是第二象限角，x0.又由题意知x，解得x3.tan.(2)(2019莆田模拟)若角的终边上有一点P(4，a)，且sincos，则a的值为()A4 B4C4或 D答案C解析由三角函数的定义得sincos，即a216a160，解得a4或a.故选C.角度4利用三角函数线解决三角不等式例5函数ylg (2sinx1)的定义域为_答案解析
9、要使函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为.1用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解 (2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解2要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解3利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置 (2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找
10、单位圆中公共的部分 (4)写出角的表达式即时训练3.(2019温州模拟)若角的终边过点P(2sin30，2cos30)，则sin的值为()A. B C D答案C解析x2sin301，y2cos30，r|OP|2，sin.故选C.4设是第四象限角，则以下函数值一定为负值的是()Atan Bsin Ccos Dcos2答案A解析因为2k2k(kZ)，所以kk，4k24k，kZ.故cos2，cos，sin的值正负不定当k为偶数时，是第四象限角；当k为奇数时，是第二象限角因此tan0.故选A.5若是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosx，则sin的值是()A. B C. D答案A解析r|PO|
11、，由三角函数的定义知cosx，则x258.sin.故选A.6sin1，cos1，tan1的大小关系是()Asin1cos1tan1 Btan1sin1cos1Ccos1tan1sin1 Dcos1sin1 rad.因为OMMPAT，所以cos1sin1tan1.故选D.考向三扇形的弧长、面积公式例6已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)60 rad，R10 cm，扇形的弧长lR10(cm)(2)由题意得l2R20，l202R.S扇lR(202R)RR210R(R
12、5)225.当R5 cm时，S扇有最大值25 cm2.此时l202510(cm)，2 rad.当2 rad时，扇形面积最大弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式弧长公式：l|r；扇形的面积公式：Slr|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角，r是扇形的半径) (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量即时训练7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 B2sin1C. Dsin2答案C解析2Rsin12，R，l|R.故选C.8如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的_倍答案3解
13、析设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则圆心角的弧度数变为3，即圆心角的弧度数变为原来的3倍1.不等式sinx的解集为_答案解析过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1，P2，则以OP1，OP2为终边的角分别为2k，2k(kZ)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，所以sinx的解集为.2函数f(x)lg (2cosx)的定义域为_答案解析由得在单位圆中分别画出不等式的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，函数f(x)的定义域为.答题启示利用三角函数线解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sinxb，cosxa，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围对点训练1不等式cosx的解集为_答案解析过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1，Q2，则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为，其对应的角分别为2k，2k(kZ)，终边落在阴影部分的角的余弦值不小于.cosx的解集为.2(2019郑州模拟)函数ylg (2sinx1)的定义域为_答案(kZ)解析要使原函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kZ)