1、湖北省孝感中学2014-2015学年高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （2014开福区校级模拟）反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60，反设正确的是（）A假设三内角都不大于60B假设三内角都小于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个小于60考点：反证法与放缩法专题：选作题；反证法分析：由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可解答：解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60”时，应由于此命题
2、是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60”故选：B点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会2 （2015春孝感校级期中）i为虚数单位，则=（）AiB1CiD1考点：复数代数形式的混合运算专题：数系的扩充和复数分析：根据两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简 为i，根据=i4503+3=i3，求得结果解答：解：=i，则=i4503+3=i3=i，故选：A点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3 （2012中山区校级模拟）有一段演绎推理是这样的：“直
3、线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误考点：演绎推理的基本方法专题：推理和证明分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的推理过程，不难得到结论解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直故大前提错误故答
4、案为：A点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论4 （2015春孝感校级期中）过点（5，3）且与直线x2y2=
5、0垂直的直线方程是（）Ax+2y11=0B2x+y13=0C2xy7=0Dx2y+1=0考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系专题：直线与圆分析：根据互相垂直的直线的斜率之积是1，得到所求直线的斜率，从而求出直线方程解答：解：由题意得：所求直线的斜率是2，过（5，3），斜率是2的直线方程是：y3=2（x5），整理得：2x+y13=0，故选：B点评：本题考查了互相垂直的直线的斜率的关系，考查直线方程，是一道基础题5 （2015春孝感校级期中）给出以下两个类比推理（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）“若a，bR，则ab0ab”类比推出“a，bC，则ab0ab”“若a，b，c，dR，则复数a
6、+bi=c+dia=c，b=d”类比推出“若a，b，c，dQ，则a+ba=c，b=d”；对于以上类比推理得到的结论判断正确的是（）A推理全错B推理对，推理错C推理错，推理对D推理全对考点：类比推理分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答解答：解：若a，bC，当a=1+i，b=i时，ab=10，但a，b 是两个虚数，不能比较大小故错误；在有理数集Q中，若a+b，则（ac）+（bd）=0，易得：a=c，
7、b=d故正确故选：C点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明6 （2015春孝感校级期中）下列不等式中，不能恒成立的一个是（）ABC（a2+1）（b2+1）（ab+1）2D|a+b|ab|2|b|考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：变形为2=（）20，（x=y等号成立）x2+2=（x2+1）+1（x=0时等号成立），（a2+1）（b2+1）（ab+1）2（a=b时等号成立）利用等号成立问题，可以判断选项解答：解：2=（）20，（x=y等号成立）
8、（）2（x=y等号成立），x2恒成立（a2+1）（b2+1）=a2b2+a2+b2+1，（ab+1）2=a2b2+2ab+1，a2+b22ab（a=b时等号成立）（a2+1）（b2+1）（ab+1）2（a=b时等号成立）故可以判断C选项不恒成立，故选：C点评：本题考察了基本不等式的运用，判断不等式成立问题，属于中档题，关键看等号7 （2015春孝感校级期中）“ab”是“ac2bc2”成立的（）A充分而非必要条件B必要而非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若c=0，当ab时，ac2
9、bc2不成立，即充分性不成立，若ac2bc2，则c0，此时ab成立，即必要性成立，故“ab”是“ac2bc2”成立必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键8 （2015春孝感校级期中）已知a为常数，y=|xa|x+a|最大值为M，最小值为N，且MN=12，则实数a的值为（）A6B6C3D3考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：根据绝对值的性质，|a|b|ab|，可得|2a|y|2a|，结合y的最大值为M，最小值为N，且MN=12，可得答案解答：解：根据绝对值的性质，|a|b|ab|，可得：|y|=|x
10、a|x+a|（xa）（x+a）|=|2a|，故|2a|y|2a|，即M=|2a|，N=|2a|，由MN=12得：|4a|=12，解得：a=3，故选：D点评：本题考查的知识点是绝对值的性质，熟练掌握|a|b|ab|，是解答的关键9 （2015春孝感校级期中）在复平面上，复数z1=1+2i，z2=2+i，z3=i所对应的点分别是Z1，Z2，Z3，则下列复数所对应的点与这三个点不在同一个圆上的是（）ABz=5iCDz=12i考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义计算复数的模长即可解答：解：|z1|=，|z2|=，|z3|=，Z1，Z2，Z3，都在以圆的为圆心
11、，半径为的圆上，z=5i的模长|z|=5，z=5i对应的点不在同一圆上，故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义以及模长的计算，比较基础10 （2015春孝感校级期中）曲线f（x）=x+2xlnx在点（1，1）处的切线的斜率等于（）A3B3+2ln2C1+2ln2D3+ln2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：由求导公式和法则求出f（x）的表达式，再求出在点（1，1）处的切线的斜率f（1）的值解答：解：由题意得，f（x）=x+2xlnx，f（x）=1+2xln2lnx+2x，在点（1，1）处的切线的斜k=f（1）=1+0+2=3，故选：A点评：本题考查导数的几何意义
12、，以及求导公式和法则的应用，属于基础题11 （2015春孝感校级期中），方程x2sin+y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（）ABCD考点：椭圆的简单性质专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据椭圆焦点在y轴上得出，然后由cos=sin（），进而根据正弦函数的单调性求出的取值范围解答：解：，方程x2sin+y2cos=1即为+=1，焦点在y轴上，sincos，即sinsin（），0，即故选：D点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和焦点位置，同时考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题12 （2015春孝感校级期中）数列an的前n项和为Sn，a1=，满足
13、an2=Sn+，（n2），则S2015=（）ABCD考点：数列的求和专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据数列的递推关系，归纳数列数列Sn=，nN+，即可得到结论解答：解：S1=a1=，Sn+=an2（n2，nN），令n=2可得S2+=a22=S2a12，=2=，S2=同理可求得 S3=，S4=由归纳法得Sn=，nN+，则S2015=，故选：D点评：本题主要考查数列的递推公式的应用，利用归纳法是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 （2015春孝感校级期中）实数x，y满足条件：（x+y）+（y1）i=（2x+3y）+（2y+1）i则x+y=2考点：复数相等的
14、充要条件专题：计算题分析：根据复数相等条件和题意列出方程组，求出x、y的值即可解答：解：（x+y）+（y1）i=（2x+3y）+（2y+1）i，解得，x+y=2，故答案为：2点评：本题考查了复数相等条件，以及二元二次方程组的解法，属于基础题14 （2013普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程解答：解：双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，解得，a=2双曲线的方程为故答案为：
15、点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题15 （2015春孝感校级期中）已知a0，b0，+=1，则当a+b取得最小值时，ab=18考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得a+b=（a+b）（+）=5+，由基本不等式可得取最值时a和b的取值，相乘可得答案解答：解：a0，b0，+=1，a+b=（a+b）（+）=5+5+2=9当且仅当=即b=2a时取等号，结合+=1可得a=3且b=6时，式子取最小值，ab=36=18故答案为：18点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题16 （2015春孝感校级期中）在平面上，RtABC有勾股定理（即，则有
16、c2=a2+b2），类比到空间中，已知三棱锥PDEF中，PDF=，用S1，S2，S3，S分别表示PDF，PDE，EDF，PEF的面积，则有结论：S2=S12+S22+S32考点：类比推理专题：综合题；推理和证明分析：从平面图形到空间图形，同时模型不变，斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面解答：解：建立从平面图形到空间图形的类比，三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2=S12+S22+S32故答案为：S2=S12+S22+S32点评：本题考查类比推理，考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力在由
17、平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）（2015春孝感校级期中）已知aR，i为虚数单位，当a为何值时，z=（a29a+18）+（a23a）i分别是（1）实数？（2）纯虚数？考点：复数的基本概念专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本概念建立条件关系进行求解即可解答：解：（1）若复数z是实数，则a23a=0解得a=0或3（1）若复数z是
18、纯虚数，则，解得a=6点评：本题主要考查复数的有关概念，根据条件建立相应的方程或不等式关系是解决本题的关键18 （2015春孝感校级期中）求使不等式成立的最小正整数n考点：其他不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：根据绝对值的性质，可得到不等式2n149，解得即可解答：解：，2n149，又nN*，n75，故使不等式成立的最小正整数n为75点评：本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题19 （2015春孝感校级期中）一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时花费12万元；保险费，养路费，燃油费等各种费用每年1.05万元，维修费用共0.05x2+0.15x万元；使用x年后，轿车的价值为
19、（10.750.8x）万元设这辆家庭轿车的年平均支出为y万元，则由以上条件，解答以下问题：（1）写出y关于的函数关系式；（2）试确定一辆家庭轿车使用多少年时年平均支出最低并求出这个最低支出考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：计算题；应用题；不等式的解法及应用分析：（1）由题意知，再化简即可；（2）由（1）得 ，从而利用基本不等式可得，从而解得解答：解：（1）由题设知，=（x0）；（2）由（1）得 ，由均值不等式知：y=（万元），（当且仅当，即x=5时取等号），使用5年时，在这辆轿车上的年平均支出费用最低，为2.5万元点评：本题考查了函数与基本不等式在实际问题中的应用，注意由实际问题出发对定
20、义域的确定，属于中档题20 （2015宁城县一模）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）2的解集是R，求m的取值范围考点：其他不等式的解法；函数的定义域及其求法专题：压轴题；不等式的解法及应用分析：（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x2|m+4，由于xR时，恒有|x+1|+|x2|3，故m+43，由此求得m的取值范围解答：解：（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（
21、x）的定义域为（，3）（4，+）（2）不等式f（x）2即|x+1|+|x2|m+4，xR时，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，m+43，m的取值范围是（，1点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题21 （2014广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m2）可作曲
22、线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）f（x2）|c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx3（2分）根据题意，得即解得所以f（x）=x33x（2）令f（x
23、）=0，即3x23=0得x=1当x（，1）时，f（x）0，函数f（x）在此区间单调递增；当x（1，1）时，f（x）0，函数f（x）在此区间单调递减因为f（1）=2，f（1）=2，所以当x2，2时，f（x）max=2，f（x）min=2则对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=4，所以c4所以c的最小值为4（3）因为点M（2，m）（m2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x0，y0）则y0=x033x0因为f（x0）=3x023，所以切线的斜率为3x023则3x023=，即2x036x02+6+m=0因为过点M（2，m）（m
24、2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x036x02+6+m=0有三个不同的实数解所以函数g（x）=2x36x2+6+m有三个不同的零点则g（x）=6x212x令g（x）=0，则x=0或x=2当x（，0）时，g（x）0，函数g（x）在此区间单调递增；当x（0，2）时，g（x）0，函数g（x）在此区间单调递减；所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：，即，解得6m2点评：（1）此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想；（2）此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值
25、；（3）此题重点考查了数学中导数的几何含义，还考查了函数解的个数与相应方程的解的个数的关系22 （2015春孝感校级期中）已知F为椭圆C：+=1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，求：（1）直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的标准方程及其椭圆的第二定义即可得出；（2）当DEx轴时，把x=1代入椭圆方程解得D，E可得直线AD的方程：y=
26、，解得M，N，可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点设直线DE的方程为：my=x1，D（x1，y1），E（x2，y2）与椭圆方程联立化为（3m2+4）y2+6my9=0，直线AD的方程为：y=，可得M，同理可得N利用根与系数的关系可证明=0，即可得出结论解答：解：（1）由椭圆C：+=1，可得a=2，c=1，右焦点F（1，0），其离心率e=椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，=4直线l方程为：x=4；（2）当DEx轴时，把x=1代入椭圆方程解得y=，D，E可得直线AD的方程：y=，解得M（4，3），同理可得N（4，3
27、），可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点证明：设直线DE的方程为：my=x1，D（x1，y1），E（x2，y2）联立，化为（3m2+4）y2+6my9=0，y1+y2=，y1y2=直线AD的方程为：y=，可得M，同理可得N=9+=9+=99=0，以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），G（7，0）同理可证：以MN为直径的圆恒过一定点G（7，0）因此以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），（7，0）点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、直线的方程、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题
