1、第 10 讲函数与方程1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解1函数的零点(1)方 程 f(x)0 有 实 根 函 数 y f(x)的 图 象与x轴有_函数 yf(x)有零点；交点(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且有 f(a)f(b)_0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点一般把这一结论称为零点存在性定理2二分法如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(m)f(n)0，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在区间一分为二，使区间
2、的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法1如图 2-10-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零点的区间是()B图 2-10-1A2.1，1C4.1,5B1.9,2.3D5,6.1f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.165f(1.406 25)0.0522(2012 年广东韶关一模)若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程 x3 x2 2x20 的一个近似根(精确到 0
3、.1)为(C)A1.2C1.4B1.3D1.53方程 2xx40 的解所在的区间为()CA(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：令 f(x)2xx4，f(1)f(2)20，f(x)在(1,2)内有零点4函数 f(x)log3xx2 的零点所在的区间为()BA(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：函数f(x)log3xx2 的定义域为(0，+)，且在(0，)上单调递增又f(1)10，函数f(x)有唯一零点，且零点在区间(1,2)内x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4xy2 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.06
4、3 8.0 10.556 2yx0.040.361.01.963.244.846.769.011.56 考点 1 判断函数零点所在的区间例 1：(1)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程 2xx2 的一个根位于下列区间中的()A(0.6,1.0)C(1.8,2.2)B(1.4,1.8)D(2.6,3.0)解析：令 f(x)2xx2.由 f(0.6)1.5160.360，f(1.0)2.01.00，排除A；由 f(1.4)2.639 1.960，f(1.8)3.482 3.240，排除 B；由 f(2.6)6.0636.760，f(3.0)8.09.00，f(2.2)4.595
5、4.840，f(4)3220，由根的存在性定理知，f(x)的零点在区间(2,4)内故选C.【规律方法】判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；利用函数零点的存在性定理进行判断；通过函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断.【互动探究】1(2013 年重庆)若 ab0；f(b)(bc)(ba)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内考点2 二分法的应用例2：已知函数 f(x)lnx2x6.(1)求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数；(2)求证
6、：函数 f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.(1)证明：函数 f(x)的定义域为(0，)，设 x1x2，则 lnx1lnx2,2x12x2.lnx12x16lnx22x26.f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函数(2)证明：f(2)ln220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点又由(1)知，f(x)在(0，)上是增函数，因此 f(x)0 至多 有一个根，从而函数 f(x)在(0，)上有且只有一个零点(3)解：由(2)知，f(x)的零点 x0 在(2,3)上，取 x152，f52 ln5210，f52 f(3)0，
7、f52 f114 0.x052，114.而114 52 1414，52，114 即为符合条件的区间【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能用来求函数的变号零点；(2)给定精度，用二分法求函数yf(x)的零点近似值的步骤如下：确定区间m，n，验证 f(m)f(n)0，给定精度；求区间m，n的中点 x1；计算 f(x1)：)若 f(x1)0，则x1 就是函数yf(x)的零点；)若 f(m)f(x1)0，则令nx1 此时零点x0(m，x1)；)若f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n)【互动探究】2若函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的绝对
8、)值不超过 0.25，则 f(x)可以是(Af(x)4x1Bf(x)(x1)2Cf(x)ex1Df(x)lnx12 解析：f(x)4x1的零点为x 14，f(x)(x1)2的零点为x1，f(x)ex1的零点为x0，f(x)lnx12 的零点为x32.现在我们来估算g(x)4x2x2的零点，因为g(0)1，g 12 1，所以g(x)的零点x 0，12，又函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)4x1的零点适合答案：A考点 3 利用导数讨论方程的根的分布例 3：(2013 年广东广州一模)已知 f(x)是二次函数，不等式f(x)0 的解集是(0,5)，且
9、 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy10 平行(1)求 f(x)的解析式；(2)是否存在 tN，使得方程 f(x)37x 0 在区间(t，t1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由思维点拨：(1)由二次不等式f(x)0 的解集可设出 f(x)解析式，利用条件求出 f(1)，解出待定系数(2)对方程作等价变形,利用导数和变号零点判定法则探求 t.函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy10 平行，f(1)6.2a5a6，解得 a2.f(x)2x(x5)2x210 x.解：(1)方法一:f(x)是二次函数,不等式f(x)0.f(x)2ax5
10、a.方法二：设 f(x)ax2bxc，不等式 f(x)0 的解集是(0,5)，方程 ax2bxc0 的两根为 0,5.c0,25a5b0.f(x)2axb，又函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy10 平行，f(1)6.2ab6.由，解得 a2，b10.f(x)2x210 x.(2)由(1)知，方程f(x)37x 0等价于方程2x310 x2370.设h(x)2x310 x237，则h(x)6x220 x2x(3x10)当x 0，103时，h(x)0，函数h(x)在103，上单调递增h(3)10，h103 1270，方程h(x)0在区间 3，103，103，4 内分别有唯一实数
11、根，在区间(0,3)，(4，)内没有实数根存在唯一的自然数t3，使得方程f(x)37x0在区间(t，t1)内有且只有两个不相等的实数根【规律方法】方程f(x)37x 0等价于2x310 x2370.设h(x)2x310 x237，则h(x)6x220 x2x(3x10)函数h(x)在0，103 上单调递减；函数h(x)在103，上单调递增h103 1270，则t与103 有关，应该是3，然后利用零点存在性定理验证【互动探究】3函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是()A0 个B1 个C2 个D3 个B解析：因为 f(x)2xln23x20，所以函数 f(x)2xx32 在(0
12、,1)内单调递增又 f(0)1210，所以由零点存在性定理知，在区间(0,1)内函数的零点个 数为 1 个故选 B.思想与方法运用分类讨论思想判断方程根的分布例题：已知函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1上有零点，求实数 a 的取值范围令 f(x)0，得 x1 是区间1,1上的零点当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点分三种情况：解：方法一：当a0 时，f(x)x1.方程 f(x)0 在区间1,1上有重根令 14a(13a)0，解得 a16或 a12.当 a16时，令 f(x)0，得 x3，不是1,1上的零点；当 a12时，令 f(x)0，得 x1，是1,1上的零点；若函
13、数 yf(x)在区间1,1上只有一个零点，但不是f(x)0 的重根令 f(1)f(1)4a(4a2)0，解得 00，12a24a10，1 12a1，f(1)0，f(1)0或a0，1 12a1，f(1)0，f(1)0.解得 a.综上所述，实数 a 的取值范围为0，12.方法二：当 a0 时，f(x)x1，令 f(x)0，得 x1，是区间1,1上的零点当 a0 时，f(x)ax2x13a 在区间1,1上有零点(x23)a1x 在区间1,1上有解a1xx23在区间1,1上有解问题转化为求函数 y 1xx23在区间1,1上的值域设 t1x，由 x1,1，得 t0,2而 yt(1t)231t4t20.设
14、 g(t)t4t，可以证明当 t(0,2时，g(t)单调递减事实上，设 0t1t22，则g(t1)g(t2)t14t1 t24t2(t1t2)(t1t24)t1t2.由 0t1t22，得 t1t20,0t1t20.所以 g(t)在 t(0,2上单调递减故 g(t)g(2)4.所以 y1g(t)212.故实数 a 的取值范围为0，12.【规律方法】(1)函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1上有零点，应该分类讨论：讨论 a0 与 a0；讨论有一个 零点或有两个零点；如果只有一个零点还要讨论是否是重根 (2)函数 f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程 f(x)0 的实数根(3)准确理解根的存在性定理：f(x)在a，b上连续；f(a)f(b)0.其中是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，并且满足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上至少有一个零点；不满 足 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上未必无零点,也可能有多个零点