1、第一章 推理与证明 A组基础巩固1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12B12C13D11，n取第一个正整数为2，左端分母最大的项为.答案：B2证明11)，当n2 时，中间式等于()A1B1C1 D1解析：中间式中的表示中间式的最后一项，前面的保留，所以n1时，中间式为1，n2时，中间式为1.答案：D3如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3解析：当n1时，原式可化为abab11；当n2时，原式可化为ab2(ab)16.由可得ab5，ab6，验证可知只有选
2、项D适合答案：D4用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk到nk1时，不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加，减少D增加，减少解析：当nk时，不等式的左边，当nk1时，不等式的左边，又()，所以由nk到nk1时，不等式的左边增加，减少.答案：C5用数学归纳法证明12222n12n1(nN)的过程如下：当n1时，左边1，右边2111，等式成立假设当nk时，等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11，所以，当nk1时等式成立由此可知，对任何nN，等式都成立上述证明的错误是_解析：当nk1时正确的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假设
3、答案：没有用上归纳假设进行递推6n为正奇数，求证：xnyn能被xy整除，当第二步假设nk(kN)命题为真时，则需证n_时命题也为真解析：n为正奇数，现在nk，说明k为正奇数，下一个正奇数应为k2.答案：k27对于不等式 n2(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时， 12，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即 k2，则nk1时，n21对任意nk的自然数n都成立的最小k值为()A2 B3C4 D5解析：2532,52126，对n5的所有自然数n,2nn21都成立答案：D2设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)k2成立时总可推出f(k1)(k1)2成立”
4、那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：对于A，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错误对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误对于C，没有奠基部分，故C错误对于D，f(4)2542，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.答案：D3已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN成立，那么a_，b_，c_.解析：把n1,2,3代入1233324
5、33n3n13n(nab)c，可得整理并解得答案：4用数学归纳法证明：当nN，12222325n1是31的倍数时，当n1时，原式为_从nk到nk1时需增添的项是_解析：当n1时，1222251112222324；122225(k1)1(122225k1)25k25k125k4.答案：1222232425k25k125k45用数学归纳法证明3nn2(nN)证明：(1)当n1时，左边3，右边1,31，不等式成立当n2时，左边9，右边4,94，不等式成立(2)假设当nk(k2)时，不等式成立，即3kk2，则nk1时，左边3k133k3k2，右边(k1)2k22k1，3k2(k22k1)2k22k12
6、(k0.5)21.5，当k2，kN时，上式恒为正值则左边右边，即3k1(k1)2，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，对任何正整数n，总有3nn2成立6已知正项数列bn的前n项和Bn(bn1)2.(1)求出b1，b2，b3，b4的值；(2)猜想bn的通项公式并用数学归纳法证明解析：(1)由已知Bn(bn1)2，数列bn为正项数列，得B1b1(b11)2b11211，B2b1b2(b21)2，即1b2(b21)2b23221，B3b1b2b313b3(b31)2b35231，B4b1b2b3b4135b4(b41)2b47241.(2)由此猜想出：bn2n1(n1)为数列的通项公式，用数学归纳法证明：当n1时，b12111，公式成立；假设当nk时，公式成立，即bk2k1.那么bk1Bk1Bk(bk11)2(bk1)2，整理得(bk11)2(bk1)2，故bk11(bk1)，又bn各项为正，bk1bk(舍去)，bk1bk22k12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，对于所有n1，均有bn2n1.