1、2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高三年级期中质量检测数学试题题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A=x|1x3，集合B=x|x|2，则下列关系式准确的是()A. AB=B. AB=x|2x3C. ARB=x|2x22. 函数y=lgx+lg(53x)的定义域是()A. 0,53)B. (0,53)C. 1,53)D. 1,533. 已知函数f(x)=x3+1,x0ax3+b,x0为偶函数，则2a+b=()A. 32B. 3C. 12D. 324. 已知正方形ABCD的对角线AC=2，点P在边AD上，则AP
2、AC的最大值为()A. 2B. 1C. 2D. 45. 若数列Fn满足F1=1，F2=1，Fn=Fn1+Fn2(n3)，则Fn称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现.它有很多美妙的特征，如当n2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项;随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等.若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.61820.38，1.61822.61)()A. 317万B. 217万C. 51万D. 31万6. 已知a=43cos34，b=43sin34，c=tan43，则a，b，c的大小关系为()A. cbaB. abcC. b
3、caD. bac7. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cacosB=tanA+tanB，下列结论正确的是()A. A=6B. 当a=2，c=4时，ABC的面积为43C. 若AD是BAC的角平分线，且AD=23，则1b+1c=2D. 当bc=3a3时，ABC为直角三角形8. 已知函数f(x)=k(x1)+14ex32x2，若函数f(x)的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数，则实数k的取值范围为()A. (3e3112,3e218B. 3e218,3e14)C. 3e3112,3e218)D. (3e218,3e14二、多选题（本大题共4小题，共20分。在
4、每小题有多项符合题目要求）9. 已知复数：满足(i1)z=2i，则()A. |z|=2B. z虚部为iC. z的共轭复数为z=1+iD. z是方程x22x+2=0的一个根10. 下列选项中，正确的有()A. 设a，b都是非零向量，则“a=12b”是“a|a|=b|b|”成立的充分不必要条件B. 若角的终边过点P(3,m)且sin=213，则m=2C. 在ABC中，ABsinAcosBD. 若sin(3)=13，则cos(6+)=1311. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列an满足a1=0
5、，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，则()A. a4=6B. an+2=an+2(n+1)C. an=n212,n为奇数n22,n为偶数D. 数列(1)nan的前2n项和为n(n+1)12. 若x0，y0，且x+y=xy，则()A. x+y4B. xy2C. x+2y+xy5+26D. 2xx1+4yy16+42三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知an是等差数列，bn是等比数列，sn是数列an的前项和，s11=11，b5b7=3，则log3a6b62=14. 已知向量m=(1,2)，n=(2,)，若mn，则2m+n在m上的投影向量为15. “中国剩余定理”又称“
6、孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列an，记数列an的前n项和为Sn，则Sn+30n的最小值为16. 已知f(x)是定义在R上的函数，且函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称，当x0)，且g(x)在0,上单调递增(1)若g(x)g(23)恒成立，求的值;(2)在(1)的条件下，若当x10,2时，总有x20,43使得f(x1)=g(x2)，求实数m的取值范围21. (本小
7、题12分)已知函数f(x)=sin(x+)(0,00时，判断F(x)=f(x)+ag(x)在(0,2022)内的零点个数，并说明理由22. (本小题12分)已知函数f(x)=aexx(aR)(1)求f(x)的极值;(2)若at1et2=at2et1=t1t2(0t10恒成立，求实数的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的基本运算，属于基础题【解答】解：集合A=x|1x3，集合B=x|x|2=x|2x2，AB=1x2，AB=x|2x3，ARB=x|1x3x|x2=x|2x3，ARB=x|1x3x|x2=x|x1故B正确，A，C，D错误2.【答案】C【解析】【分析】本题考
8、查函数的定义域，属于基础题【解答】解：由lgx0x053x0，解得x1x0x53得1x0ax3+b,x0x3+1,x0为偶函数，满足题意，则2a+b=12+1=324.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题【解答】解：因为正方形的对角线为2，故正方形的边长为2，点P在边AD上，则AP=AD，其中01，则APAC=|AD|AC|cos45=2222=22，当P点与D点重合时，等号成立，故APAC的最大值为25.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系、数列求和，属于中档题【解答】解：根据题意得，F30=832040，假设Fn的前n项和为Sn，则当n2时，
9、Sn=Fn+2F2，则S28=F301，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F301+0.618F30+F30=2.618F301217.8万，所以从选项判断，估计这个数列的前30项之和最接近217万6.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型【解答】解：由于034sin34，则a=43cos34b=43sin34，由3432，cos343a故cab7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正余弦定理的应用，以及三角形面积公式的应用，考查了运算
10、能力，属于中档题【解答】解：因为3cacosB=tanA+tanB，由正弦定理可得3sinCsinAcosB=tanA+tanB，又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以3(sinAcosB+cosAsinB)sinAcosB=tanA+tanB，化简可得3(tanA+tanB)tanA=tanA+tanB，tanA+tanB0，可得tanA=3，A(0,)，故A=3，选项A错误；选项B：当a=2，c=4时，cosA=cos3=b2+c2a22bc=b2+1648b，可得b24b+12=0，无解，故此时三角形不存在，选项B错误；选项C：因为若AD是BAC的角平
11、分线，且AD=23，故BAD=DAC=30，而SBAD+SDAC=SABC，所以12c23sin30+12b23sin30=12bcsin60，得c+b=12bc，所以1b+1c=12，选项C错误；选项D：因为bc=3a3，由正弦定理可得sinBsinC=33sinA=12，又A+B+C=，A=3，得B=23C，所以sin(23C)sinC=12，化简可得cos(C+6)=12，C(0,23)，解得C=6或2，由条件可知CB，故C=2舍去，故C=6，所以B=236=2，所以ABC为直角三角形，选项D正确8.【答案】A【解析】【分析】本题主要利用导数研究函数的单调性，考查数形结合思想与运算求解能
12、力，属于综合题【解答】解：因为函数f(x)的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数，所以f(x)=(kx+14)ex3x0的解集中恰有两个正整数，由(kx+14)ex3x0可得kx+143xex，令g(x)=3xex，则g(x)=3(1x)ex，当x(1,+)时，g(x)0，g(x)单调递增，作出函数g(x)与y=kx+14的大致图象如图所示：当f(x)0恰有两个正整数解时，即为1和2，所以2k+146e23k+149e3，解得3e3112k3e218，故实数k的取值范围为(3e3112,3e218.9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数的模、共轭复数，方程的根
13、等，属于基础题由复数的四则运算，得到z的值，再根据相关概念逐个进行判断即可得到答案【解答】解：因为(i1)z=2i，所以z=2ii1=2i(1+i)(1i)(1+i)=2+2i2=1i，所以|z|=12+12=1+1=2，故A正确；由z=1i知，z的虚部为1，故B错误；z的共轭复数为z=1+i，故C错误；因为(1i)22(1i)+2=12i+i22+2i+2=0，所以z=1i是方程x22x+2=0的一个根，故D正确10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算、三角函数的定义、诱导公式、正弦定理以及三角函数性质的应用，属于中档题【解答】解：选项A：由a=12b，可知|a|=12
14、|b|，所以a|a|=12b12|b|=b|b|，故充分性成立；若a|a|=b|b|，则a=|a|b|b，因为|a|b|为大于0的实数，不一定为12，所以必要性不成立，故“a=12b”是“a|a|=b|b|”成立的充分不必要条件，A选项正确；选项B：若角的终边过点P(3,m)且sin=213，则mm2+9=213，解得m=2，B选项错误；选项C：因为在ABC中，ABab，由正弦定理可知absinAsinB，所以ABsinAsinB，因为y=cosx在(0,)上单调递减，而A，B为ABC的内角，A，B(0,)，故AcosB；故可得ABsinAcosB，选项C正确；选项D：若sin(3)=13，则
15、cos(6+)=sin2(6)=sin(3)=13，D错误11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，递推关系，等差数列求和与分组转化求和法，属于综合题【解答】解：因为大衍数列an满足a1=0，an+1=an+n+1(n为奇数)an+n(n为偶数)，所以a2=a1+1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+3+1=4+4=8，故选项A错误;因为当n为奇数时，an+2=an+1+n+1=an+n+1+n+1=an+2n+1，当n为偶数时，an+2=an+1+n+1+1=an+n+n+1+1=an+2n+1，所以an+2=an+2n+1，故选项B正确;因为由选项B知：an+2=a
16、n+2n+1，由选项A知：a1=0，a2=2，所以当n为奇数时，an=anan2+an2an4+a3a1+a1=2n1+2n3+22+0=2n1+n3+2+0=2n1+0n+122=n212，当n为偶数时，an=anan2+an2an4+a4a2+a2=2n1+2n3+23+2=2n1+n3+2+1=2n1+1n22=n22，因此an=n212(n为奇数)n22(n为偶数)，故选项C正确;设数列(1)nan的前2n项和为S2n，则S2n=a1+a3+a5+a2n1+a2+a4+a6+a2n，因此由选项C知：S2n=1212+3212+5212+2n1212+222+422+622+2n22=1
17、22212+4232+6252+2n22n12+n2=123+7+11+4n1+n2=124n1+3n2+n2=2n+1n2+n2=nn+1，故选项D正确12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了基本不等式性质的应用，属于中档题【解答】解：对于A，由x0，y0且满足x+y=xy，得1x+1y=1x+y=(x+y)(1x+1y)=2+xy+yx2+2yxxy=4，当且仅当x=y=2时取等号，故A正确，对于B，由选项A可得xy=x+y4，故B错误；对于C，x+2y+xy=x+2y+x+y=2x+3y=(2x+3y)(1x+1y)=5+3yx+2xy5+26，当且仅当y=63x=1+63时取等号
18、，故C正确；对于D，2xx1+4yy1=2x(y1)+4y(x1)(x1)(y1)=4x+2y=(4x+2y)(1x+1y)=6+2yx+4xy6+22yx4xy=6+42，当且仅当x=22+1,y=2+1时取等号，故D正确，13.【答案】1【解析】【分析】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等差数列的前n项和公式，以及对数的运算，属于基础题【解答】解：因为an是等差数列，且s11=11，则a1+a11211=11a6=11，则a6=1，又因为bn是等比数列，且b5b7=3，则b62=b5b7=3，所以log3a6b62=log313=114.【答案】(2,4)【解析】【分析】本题主要考查向量
19、的坐标运算，向量垂直的充要条件，向量的投影，属于基础题【解答】解：m=1,2,n=2,，mn，mn=2+2=0，解得=1，n=2,12m+n=0,5，m=1+4=5，2m+nm=10，2m+n在m上投影向量的坐标为：(2m+n)m|m|m|m|=105(15,25)=(2,4)15.【答案】612【解析】【分析】本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查运算求解能力，是中档题【解答】解：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列an，则an=8+15(n1)=15n7，Sn=8n+n(n1)215=152n2+12n从
20、而Sn+30n=15n2+30n+12215n230n+12=612当且仅当15n2=30n，即n=2时，等号成立，Sn+120n的最小值为61216.【答案】0 y=2x12【解析】【分析】本题考查了利用导数求切线方程以及利用对称性求函数的解析式，考查了运算能力，属于中档题【解答】解：因为函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称，所以f2(x+1)+1=f2(1x)+1，即f(2x+3)=f(32x)，用x代替2x，得到f(x+3)=f(3x)，故f(x)关于x=3对称，当x112时，6x112时，f(x)=ln(2x11)，则f(x)=22x11，故f(6)=ln1=0，f(6)=2
21、1=2，故曲线y=f(x)在x=6处的切线斜率k=2，切点坐标为(6,0)，故切线方程为y=2(x6)，即y=2x12故答案为0，y=2x1217.【答案】解：(1)若a=0，有f(x)=32xx2，则f(x)=2x6x3，x0令f(x)0得0x0得x3所以，f(x)的减区间是(0,3)，增区间是(,0)，(3,+)(2)f(x)=2x26x2a(x2+a)2由f(1)=0得82a=0a=4f(x)=2x26x8(x2+4)2=2(x4)(x+1)(x2+4)2当x4时，f(x)0当1x4时f(x)0，f(x)在(,1)，(4,+)上递增，在(1,4)上递减f(x)的极大值为f(1)=1，f(
22、x)的极小值为f(4)=14又当x0，当x4时，f(x)0f(x)max=f(1)=1，f(x)min=f(4)=14【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数的最值，根据极值求参，属于中档题18.【答案】解：(1)an+1=4an2n+1，an+12n+1=2an2n1，an+12n+11=2(an2n1)又bn=an2n1，bn+1=2bn且b1=10bn是首项为1，公比为2的等比数列，bn=2n1(2)cncmnm=3对任意m，nN都成立，令m=1得cnc1n1=3cn=3n+1bncn=(3n+1)2n1Sn=420+721+1022+(3n+1)2n12Sn=421+722+1
23、023+(3n+1)2n作差化简得Sn=2+(3n2)2n【解析】本题主要考查等比数列与错位相减法法求和，属于中档题19.【答案】解：(1)(1+sinB+cosB)(cosB2sinB2)=cosB2(2sinB2cosB2+2cos2B2)(cosB2sinB2)=cosB22cosB2(sinB2+cosB2)(cosB2sinB2)=cosB22cosB2(cos2B2sin2B2)=cosB22cosB2cosB=cosB2又B(0,)cosB20，cosB=12，又B(0,)，B=3；(2)连接AC，设AD=x，CD=y在ABC中，由余弦定理得AC2=4+9223cos3=7，AC
24、=7在ACD中由余弦定理得x2+y22xycos120=7x2+y2+xy=77xy=x2+y22xy(当x=y时取等号)，xy73凹四边形ABCD面积S=SABCSADC=1223sin6012xysin120=33234xy11312，四边形ABCD面积的最小值是11312【解析】本题主要考查余弦定理解三角形、三角形面积公式以及基本不等式求最值的实际应用，属于中档题20.【答案】解：(1)由题意得g(23)=2sin(23)6=2(23)6=2+2k，kZ解得=123k，kZ且g(x)在0,上单调递增，故T2，得=12(2)由(1)得g(x)=2sin(12x6)x20,43时，12x26
25、6,2，g(x2)1,2根据对称轴讨论f(x1)取值范围m0时，f(x)在0,2时单调递增，f(x1)2,64m，此时不合题意0m2时f(x)在0,m上单调递减，在(m,2时单调递增，由题意得f(0)=22f(m)=m2+21,f(2)=64m2解得1m3m2时，f(x)在0,2时单调递减，f(x1)64m,2，由题意得64m122，解得m74(舍去)综上，m的取值范围为1,3【解析】本题考查正弦函数的图象与性质，二次函数的最值，属于综合题21.【答案】解：(1)f(x)周期T=2=，=2;又(4,0)是f(x)的一个对称中心，24+=k(kZ)，解得：=k2(kZ)，0，=2，f(x)=si
26、n(2x+2)=cos2x，g(x)=cos(x2)=sinx(2)假设存在x0(6,4)，使得f(x0)、g(x0)、f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列;当x0(6,4)时，2x0(3,2)，cos2x0(0,12)，sinx0(12,22)，又sinx0cos2x0cos2x0sinx0cos2x0，2f(x0)=g(x0)+f(x0)g(x0)，即2cos2x0=sinx0+sinx0cos2x0，令p(x)=sinx+sinxcos2x2cos2x，x(6,4)，则p(x)=cosx+cosxcos2x2sinxsin2x+4sin2x=cosx(1+cos2x)+2sin2x
27、(2sinx)0p(x)在(6,4)上单调递增，又p(6)=140且p(x)在(6,4)上连续，唯一的x0(6,4)，使得p(x0)=0，即2cos2x0=sinx0+sinx0cos2x0成立;即存在x0(6,4)，使得f(x0)g(x0)，f(x0)，g(x0)或g(x0)，f(x0)，f(x0)g(x0)成等差数列;|d|=sinx0cos2x0=2sin2x0+sinx01=2sinx0+14298，sinx0(12,22)，|d|(0,22)，即该等差数列公差的绝对值的取值范围为(0,22)(3)由题意得：F(x)=asinx+cos2x，当x=k(kZ)，即sinx=0时，cos2
28、x=1，x=k(kZ)不是F(x)的零点;则F(x)的零点个数等价于a=cos2xsinx的根的个数，即y=a与(x)=cos2xsinx的交点个数;(x+2)=cos(2x+4)sin(x+2)=cos2xsinx=(x)，(x)是以2为周期的周期函数;当x(0,)U(,2)时，(x)=2sin2xsinx+cos2xcosxsin2x=cosx(4sin2x+cos2x)sin2x=cosx(2sin2x+1)sin2x;当x(0,2)(32,2)时，(x)0;当x(2,)(,32)时，(x)1时，y=a与(x)在(0,)内无交点，在(,2)内有两个交点;当0a1时，y=a与(x)有202
29、2个交点，即F(x)有2022个零点当a=1时，y=a与(x)有3033个交点，即F(x)有3033个零点当0a1时,y=a与(x)有4044个交点,即F(x)有4044个零点【解析】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点等基础知识，属于难题22.【答案】解：(1)函数f(x)=aexx的定义域为R，f(x)=aex1，当a0时，f(x)0时，令f(x)=aex1=0，则x=ln1a=lna，x(,lna)时，f(x)0，f(x)在x(lna,+)上单调递增;故f(x)在x=lna取极小值，且f(ln1a)=1+lna，无极大值综上，
30、当a0时，f(x)无极值;当a0时，f(x)在x=ln1a=lna取极小值，且f(ln1a)=1+lna，无极大值；(2)at1et2=at2et1=t1t2(0t10时，f(x)在x=lna取极小值，且f(lna)=1+lna0，故0aln1e=1，又f(0)=a0，f(1)=ae10，且x+时，f(x)+0t11ln1a0恒成立，t1t2t1+t2对任意0t11ln1at1t2t1+t2=a2et1+t2a(et1+et2)=aet1+t2et1+et2=(t2t1)et1+t2(et2et1)(et1+et2)=t2t1et2t1et1t2对任意0t11ln1a0，memem对任意m0恒成立，则0ememm0对任意m0恒成立，令(m)=ememm0，则(m)=em+em1，因为m0时，em+em2所以12时，(m)=em+em10恒成立，故(m)在m(0,+)为单调递增函数，又(0)=0，(m)0对m0恒成立，当210，即012时，(m)为单调增函数，又(0)=210，m0(0,ln1)使(m0)=0，当m(0,m0)时，(m)0，故(m)在m(0,m0)单调递减，当m(0,m0)时，(m)0=0综上，实数的取值范围为12,+)【解析】本题考查了导数研究函数中的恒成立问题以及解决函数的极值问题，考查了分类讨论思想以及构造函数的方法，综合性较强，属于难题