1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。第 2 课时 组合的简单应用 关键能力合作学习 类型一 简单的组合问题(逻辑推理、数学运算)1(2020新高考全国卷)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有()A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 2(2021西安高二检测)楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A10
2、 B15 C20 D24 3男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名.(2)至少有 1 名女运动员(3)既要有队长，又要有女运动员【解析】1.选 C.甲场馆安排 1 名有 C16 种方法，乙场馆安排 2 名有 C25 种方法，丙场馆安排 3 名有 C33 种方法，所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有 C16 C25 C33 60 种 2选 A.先把亮的 6 盏灯排成一列，然后把需要关的灯插入到这 6 盏灯中除了两端的空中，故有 C35 10 种 3(1)第一步：选 3 名男运
3、动员，有 C36 种选法；第二步：选 2 名女运动员，有 C24 种选法，故共有 C36 C24 120 种选法(2)方法一(直接法)：“至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况，1女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男 由分类加法计数原理知共有 C14 C46 C24 C36 C34 C26 C44 C16 246 种选法 方法二(间接法)：不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有 C510 种选法，其中全是男运动员的选法有 C56 种，故“至少有 1 名女运动员”的选法有 C510 C56 246 种(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有 C49 种选法；不选女队长
4、时，必选男队长，共有 C48 种选法，其中不含女运动员的选法有 C45 种，故不选女队长时共有 C48 C45 种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有 C49 C48 C45 191 种 解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用 提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏【补偿训练】1.在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
5、(1)任意选 5 人(2)甲、乙、丙三人必须参加(3)甲、乙、丙三人不能参加(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加(6)甲、乙、丙三人至多 2 人参加【解析】(1)有 C512 792 种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人，共有 C29 36 种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 C59 126 种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选 1人，有 C13 3 种选法，再从另外的 9 人中选 4 人，有 C49 种选法，共有C13 C49 3
6、78 种选法(5)方法一(直接法)：可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C13 C49 378 种选法；第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C23 C39 252 种选法；第三类：甲、乙、丙中有 3 人参加，共有 C33 C29 36 种选法；共有 C13 C49 C23 C39 C33 C29 666 种不同的选法 方法二(间接法)：12 人中任意选 5 人，共有 C512 种选法，甲、乙、丙三人都不能参加的有 C59 种选法，所以，共有 C512 C59 666 种不同的选法(6)方法一(直接法)：甲、乙、丙三人至多 2 人参加，可分为三类：第一类：甲、乙、丙都不参
7、加，共有 C59 126 种选法；第二类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C13 C49 378 种选法；第三类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C23 C39 252 种选法 共有 C59 C13 C49 C23 C39 756 种不同的选法 方法二(间接法)：12 人中任意选 5 人，共有 C512 种选法，甲、乙、丙三人全参加的有 C29 种选法，所以，共有 C512 C29 756 种不同的选法 2将四个编号为 1，2，3，4 的小球放入四个编号为 1，2，3，4 的盒子中(1)有多少种放法？(2)若每盒至多一球，则有多少种放法？(3)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？(4)若每个
8、盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？【解析】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有 444444256 种放法(2)这是全排列问题，共有 A44 24 种放法(3)先取四个球中的两个“捆”在一起，有 C24 种选法，把它与其他两个球共三个对象分别放入四个盒子中的三个盒子，有 A34 种放法，所以共有 C24 A34 144 种放法(4)一个球的编号与盒子编号相同的放法有 C14 种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有 2 种，故共有 C14 28 种放法 类型二 与几何有关的组合应用题 1
9、空间中有 10 个点，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A205 B110 C204 D200 2以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A70 个 B64 个 C58 个 D52 个 3平面上有 9 个点，其中 4 个点在同一条直线上(4 个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？(3)分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？【解析】1.选 A.方法一：可以按从共面的 5 个点中取 0 个、1 个、2个、3 个进行分类
10、，则得到所有的取法总数为 C05 C45 C15 C35 C25 C25 C35 C15 205.方法二：从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，得到所有构成四面体的个数为 C410 C45 205.2选 C.正方体的 8 个顶点中任取 4 个共有 C48 70 个，一个面上的 4个顶点不能组成四面体，已有 6 个面，对角面有 6 个，所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 701258 个 3(1)任取两点共有 C29 种取法，共线四点任取两点有 C24 种取法，所以共有直线 C29 C24 131 条(2)不共线的五点可连得 A25 条射线，
11、共线的四点中，外侧两点各可发出 1 条射线，内部两点各可发出 2 条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有 C14 C15 A22 条，故共有 A25 2122C14 C15 A22 66 条射线(3)任意两点之间，可有方向相反的 2 个向量各不相等，则可有 A29 72 个向量 解与几何有关的组合应用题的解题策略(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决【补偿训练】如图，在以 AB 为直径的半圆周上有异于 A，B 的六个点 C1，C2，
12、C6，线段 AB 上有异于 A，B 的四个点 D1，D2，D3，D4.(1)以这 10 个点(不包括点 A，B)中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？(2)以图中的 12 个点(包括点 A，B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？【解析】(1)方法一：可作出三角形 C36 C16 C24 C26 C14 116 个.方法二：可作三角形 C310 C34 116 个 其中以 C1为顶点的三角形有 C25 C15 C14 C24 36 个(2)可作出四边形 C46 C36 C16 C26 C26 360 个 类型三 组合应用中的分组分配问题 角度 1 不同对象分组分
13、配问题【典例】有 6 本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1)分成三组，每组分别有 1 本，2 本，3 本(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本(3)分成三组，每组都是 2 本(4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本【思路导引】(1)先从 6 本书中取出一本作为一组，再从剩余的 5 本中任取 2 本作为一组，则其余 3 本为一组(2)在(1)分组的基础上进行排列即可(3)先从 6 本书中取出 2 本作为一组，再从剩余的 4 本中任取 2 本作为一组，则其余 2 本为一组，其中有重复须除以 A33.(4)在(3)中分组的基础上排列即可
14、【解析】(1)分三步：先选一本有 C16 种选法，再从余下的 5 本中选两本有 C25 种选法，最后余下的三本全选有 C33 种选法由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C16 C25 C33 60 种(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，还应考虑再分配问题因此，分配方式共有 C16 C25 C33 A33 360 种.(3)先分三组，有 C26 C24 C22 种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一组取了 A，B，第二组取了 C，D，第三组取了 E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但 C26 C24 C22 种分法中还有(AB，EF
15、，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共 A33 种情况，而这 A33 种情况只能作为一种分法，故分配方式有C26 C24 C22 A33 15 种(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C26 C24 C22 A33 A33 90种 将本例中这 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 人，每人至少一本，则结果如何？【解析】这 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 人，每人至少一本，则有(3，1，1，1)和(2，2，1，1)两种 当为(3，1，1，1)时，有 C36 种分组方法，所以有 C36 A44 480 种分法；当为(2，2
16、，1，1)时，有C26 C24 A22 种分法，所以有C26 C24 A22 A44 1 080 种分法 角度 2 相同对象分配问题【典例】1.假如北京大学给中山市某三所重点中学 7 个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A30 B21 C10 D15 26 个相同的小球放入 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子，求下列方法的种数 每个盒子都不空；恰有一个空盒子；恰有两个空盒子【思路导引】1由于名额之间没有差别，只需将 7 个名额分成三部分即可 26 个小球是相同的，所以只要将 6 个小球分隔成 4 组即可先选出一个空盒，再将 6 个小球分隔成 3 组在 6 个小球的
17、7 个空隙中放入 5 个隔板，在其中各有两个隔板放到同一个间隙中【解析】1.选 D.用“隔板法”在 7 个名额中间的 6 个空位上选 2 个位置加 2 个隔板，有 C26 15 种分配方法 2先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C35 10种 恰有一个空盒子，插板分两步进行 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25 种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有 C14 种插法，故共有C25 C14
18、 40 种 恰有两个空盒子，插板分两步进行 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15 种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒 其一：这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有 C23 种插法 其二：将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 C13 种插法 故共有 C15(C23 C13)30 种 1分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种 完全均匀分组，每组的对象个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除以 n！；完全非均
19、匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 2相同对象分配问题的建模思想(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同对象的分配问题(2)将 n 个相同的对象分给 m 个不同的对象(nm)，有 Cm1n1 种方法可描述为 n1 个空中插入 m1 块板 1有 30 个完全相同的苹果，分给 4 个不同的小朋友，每个小朋友至少分得 4 个苹果，问有多少种不同的分配方案？()A
20、680 B816 C1 360 D1 456【解析】选 A.先给每个小朋友分三个苹果，剩余 18 个苹果利用“隔板法”，18 个苹果有 17 个空，插入三个“板”，共有 C317 680 种方法，故有 30 个完全相同的苹果，分给 4 个不同的小朋友，每个小朋友至少分得 4 个苹果，有 680 种不同的分配方案 2(2020南充高二检测)我省 5 名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把 5 名专家分配到 A，B，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配 1 人，其中甲专家不去 A 医疗点，则不同分配种数为()A116 B100 C124 D90【解析】选 B.根据题意，分 2 步进行分析
21、：将 5 名医学专家分为 3 组，若分为 2，2，1 的三组，有C25 C23 2 15 种分组方法，若分为 3，1，1 的三组，有 C35 10 种分组方法，则有 151025 种分组方法；将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去 A 医疗点，有 2种情况，再将剩下的 2 组分派到其余 2 个医疗点，有 2 种情况，则 3 个组的分派方法有 224 种情况，则有 254100 种分配方法 课堂检测素养达标 1甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有()A36 种 B48 种 C96 种 D192 种【解析】选 C.甲选 2
22、 门有 C24 种选法，乙选 3 门有 C34 种选法，丙选 3门有 C34 种选法所以共有 C24 C34 C34 96 种选法 2一个口袋中装有大小相同的 6 个白球和 4 个黑球，从中取 2 个球，则这两个球同色的不同取法有()A27 种 B24 种 C21 种 D18 种【解析】选 C.分两类：一类是 2 个白球有 C26 15 种取法，另一类是 2个黑球有 C24 6 种取法，所以取法共有 15621 种 3随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束客服为佳佳提供了两个系列，如表：粉色系列 黄色系列 玫 瑰
23、戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山 假日公主、金辉、金香玉 康乃馨 粉色、小桃红、白色粉边 火焰、金毛、黄色 配 叶 红竹蕉、情人草、满天星 散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊 佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择 2 种玫瑰、1 种康乃馨、2 种配叶组成混合花束请问佳佳可定制的混合花束一共有_种【解析】若选粉色系列有 C24 C13 C23 种选法，若选黄色系列有C23 C13 C24 种选法，故佳佳可定制的混合花束一共有 C24 C13 C23 C23 C13 C24 5454108 种 答案：108 4从 3 名男生和 3 名女生中选出 3 人分别担任三个不同学科的科代表，若这 3 人中必须既
24、有男生又有女生，则不同的选法共有_种(用数字作答)【解析】根据题意，分 2 步进行分析：从 3 名男生和 3 名女生中选出 3 人，要求这 3 人中必须既有男生又有女生，则有 C36 C33 C33 18 种情况，将选出的 3 人全排列，安排担任三个不同学科科代表，有 A33 6 种情况，则有 186108 种选法 答案：108 5四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，有多少种不同的取法？【解析】如图所示，在四面体中含顶点 A 的 3 个面上，除点 A 外都有 5个点，从中任意取出 3 个点必与点 A 共面，共有 3C35 种取法；在含顶点 A 的 3 条棱上各有 3 个点，它们与所对的棱的中点共面，共有 3 种取法根据分类加法计数原理，与顶点 A 共面的 3 个点的取法有 3C35 333(种).关闭 Word 文档返回原板块