1、山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题 文考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4本试卷主要命题范围：高考范围一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2已知
2、复数z满足（i为虚数单位），则复数（ ）A B C D3某校拟从1200名高一新生中釆用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ）A327 B937 C387 D10874摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其（TURKEY）的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔
3、的侧棱长之比大约为（注：）（ ）A2.77 B2.43 C1.73 D1.355已知，则（ ）A B C D6执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A B C D7长征路公共汽车10分钟一班准时到达红旗车站，假设公共汽车到站后每人都能上车，则任一人在红旗车站等车少于6分钟的概率是（ ）A B C D8已知正项等比数列的前n项和为，则（ ）A B C D9函数在上的图象大致为（ ）A B C D10已知函数，则（ ）A B C D11在正方体中，P为底面的中心，E为线段上的动点（不包括两个端点），Q为线段的中点现有以下结论：与是异面直线；过A，P，E三点的正方体的截面是等腰梯形；平面平面；
4、平面其中正确结论的序号是（ ）A B C D12点F为抛物线的焦点，横坐标为的点P为抛物线C上一点，过点P且与抛物线C相切的直线l与y轴相交于点Q，则（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数x，y满足，则的最大值是_14若单位向量满足，则与的夹角为_15在数列中，则数列中最大项的数值为_16已知双曲线的右焦点为F，A为双曲线C的右顶点，过点F作x轴的垂线，与双曲线C交于P，若直线的斜率是双曲线C的一条渐近线斜率的倍，则双曲线C的离心率为_三、解答题：共70分解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选
5、考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为（1）求角A的大小；（2）若，求18（本小题满分12分）西瓜堪称“盛夏之王”，清爽解渴，味甘多汁，是盛夏佳果，西瓜除不含脂肪和胆固醇外，含有大量葡萄糖、苹果酸、果糖、蛋白氨基酸、番茄素及丰富的维生素C等物质，是一种营养丰富、纯净、食用安全的食品炎热的夏季里，人们都会吃西瓜来消暑解渴，某西瓜种植户统计了2020年6月、7月、8月、9月共计120天天气“炎热”还是“凉爽”使得西瓜销售“畅销”还是“滞销”的列联表如下：西瓜畅销（单位：天）西瓜滞销（单位：天）总计天气炎热7020天气凉爽20a总计（1）求
6、实数a的值；（2）完成上述列联表，并判断能否有85%的把握认为西瓜的销量好坏与天气因素有关？（3）若利用分层抽样的方法在西瓜滞销的天数里，按天气炎热、天气凉爽抽取6天，再从这6天中随机抽出2天，求这2天天气情况不同的概率附：，其中k1.3232.0722.7013.8410.250.150.100.0519（本小题满分12分）如图1中，多边形为平面图形，其中，将沿边折起，得到如图2所示四棱锥，其中点P与点A重合（1）当时，求证：平面；（2）当平面平面时，求三棱锥的体积20（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求的极大值和极小值；（2）当时判断在区间内零点的个数，并说明理由21（本小题满分12
7、分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，且M的坐标为（1）求椭圆C的方程；（2）过作与直线不重合的直线l与C相交于P，Q两点，若直线和直线相交于点T，求证：点T在定直线上（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值23（
8、本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设，且（1）求证：；（2）用表示a，b，c的最大值，求的最小值高三文科数学参考答案、提示及评分细则1C 由，所以故选C2D 故选D3A 依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为，所以327不符合故选A4C 根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米，可算出四棱锥高7米，所以侧棱长为，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为故选C5B ，有故选B6A 时，时，时，时，不满足条件，退出循环，输出，故选A7D 设上一班车离站时刻为t，则该人到站的时刻的一切可能为，若在该站等车少于6分钟，则到站的时刻为，所以所求概率为
9、故选D8B 设公比为，有，可得，所以故选B9A 由，可知为偶函数，又由当时，故选A10A 由题意有，两式作差得，有，又由，得又由，可得，故有故选A11B 连接，因为P为正方形的中心，所以P是的中点，又Q为线段的中点，所以，从而P、Q、E、C四点共面，即与共面，则错误；连接，过E作交于点F，连接，则四边形是正方体过A、P、E三点的截面（因为，且），易证四边形为等腰梯形，故正确；可证平面，结合平面，可得平面平面，则正确；假设平面，又平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，从而，所以是的中位线，即E是的中点，这与“E为线段上的动点”矛盾，故错误12B 由抛物线的对称性，不妨设点P位于第一象
10、限，可得点P的坐标为，设直线l的方程为，联立方程消去x后整理为，有，有，解得，可得直线l的方程为，令，得，直线l与x轴的交点D的坐标为，所以，又，所以，所以，所以故选B136 画出可行域，如图所示，当直线过点时，z取得最大值，故14 由，得，即，所以，又，所以1517 当时，所以数列中最大项的数值为17162 设焦点F的坐标为，双曲线C的离心率为e，不妨设点P位于第一象限，可求得点P的坐标为，点A的坐标为，直线的斜率为，又由，有，整理为，解得或（舍）17解：（1）由正弦定理，得， 2分因为，所以，即 4分由，得 6分（2）由题意，得，即， 8分由余弦定理，得，即，由及，解得， 10分由正弦定理
11、，得，即，所以 12分18解：（1） 1分（2）填写列联表如下：西瓜畅销（单位：天）西瓜滞销（单位：天）总计天气炎热702090天气凉爽20a30总计9030120 3分，故没有85%的把握认为西瓜的销量好坏与天气因素有关 7分（3）天气炎热的天数为天，分别记作a、b、c、d，天气凉爽的天数为天，分别记作x、y，从这6天中随机抽取两天包括的基本事件为、，共15个， 9分这2天天气不同的基本事件为、，共8个， 11分故这2天天气情况不同的概率为 12分19（1）证明：由，易求，所以，所以 2分因为，所以，所以 3分又平面，所以平面 6分（2）解：如图，取的中点O，连因为，所以 8分因为平面平面，
12、平面平面平面，所以平面 10分所以为三棱锥的高，因为为直角三角形，所以 12分20解：（1）当时，则 1分由，得；由得或，所以在和上是增函数，在上是减函数 2分所以是的极大值点，是的极小值点，所以的极大值为的极小值为 4分（2）， 5分当时，恒正，于是，当时，；当时，所以在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，且，又，所以在和内各有一个零点，即当时，在内有两个零点 7分当时，列表如下：xa2+0-0+v增函数极大值减函数极小值增函数考虑到，当，即时，因为，所以在内有两个零点；当，即时，在内有一个零点；当，即时，在内没有零点 9分当时，则在上为增函数，所以，故在内没有零点 10分当时，列表
13、如下：x2a+0-0+增函数极大值减函数极小值增函数考虑到的极大值的极小值，所以在内没有零点 11分综上，当时，在内有两个零点：当时，在内有一个零点；当时，在内没有零点 12分21（1）解：由题意，得，且， 1分则，即， 2分所以， 3分故椭圆C的方程为 4分（2）证明：由（1）及C的对称性得点N的坐标为， 5分设直线l的方程为，点P、Q的坐标分别为，联立方程消去y后整理为，所以 6分直线的斜率为，直线的方程为，直线的斜率为，直线的方程为 8分将直线和直线方程作差消去y后整理为，可得， 9分而由可得，解得，即直线和的交点T的横坐标恒为4， 11分所以点T在定直线上 12分22解：（1）由l的参数方程得l的普通方程为，所以l的倾斜角为，所以直线l的极坐标方程为； 2分由曲线C的参数方程得C的普通方程为，又所以曲线C的极坐标方程为 4分（2）由，则B的极坐标为设，则 8分当，即时， 10分23（1）证明：因为（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），所以，由，得（当且仅当时等号成立） 5分（2）解：设，则，从而，即 8分当且仅当，即时， 10分