1、章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0B2C1 D1解析：选Af(x)x22f(1)x1，则f(1)122f(1)11，解得f(1)0.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：选Ay2xa，所以y|x0a1.将点(0，b)代入切线方程，得b1.3函数yxcos xsin x在下面哪个区间内单调递增()A B(，2)C D(2，3)解析：选Bycos
2、xxsin xcos xxsin x，当x(，2)时，xsin x0.4设x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则常数ab的值为()A21 B21C27 D27解析：选A因为f(x)3x22axb，所以所以ab32421.故选A5函数f(x)x2ln 2x的单调递减区间是()A BC， D，解析：选A因为f(x)2x，所以f(x)0解得0x.6对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca0或a21 Da0或a21解析：选Af(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点7设曲
3、线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选D令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，所以a3.8对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x1时(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)1时，f(x)0，函数f(x)在(1，)上是增函数；当x1时，f(x)f(1)，f(2)f(1)，得f(0)f(2)2f(1)9已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2，3) B(3，)
4、C(2，) D(，3)解析：选B因为f(x)6x22ax36，且在x2处有极值，所以f(2)0，244a360，a15，所以f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)0得x3.故f(x)的递增区间为(，2)和(3，)10函数y2sin x的图象大致是()解析：选Cy2cos x，令y0，解得cos x，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y2sin x有无穷多个极值点，又函数y2sin x是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只有选项C中的图象符合题意11若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：选
5、B2xln xx2ax3(x0)恒成立，即a2ln xx(x0)恒成立，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，412定义在上的函数f(x)，其导函数为f(x)，若恒有f(x)f Bff Df0，cos x0.由f(x)0.不妨设g(x)，则g(x)0，所以函数g(x)在上单调递增，所以gg，即，即ff，故选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分13某旅行社在暑假期间推出如下旅游组团方法：达到100人的团体，每人收费1 000元，如果团体的人数超过100人，那么每超
6、1人每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，为使旅行社的收益最大，旅游团的人数应为_解析：设旅游团为x人时，收费为y元，依题意有y1 000x5x(x100)5x21 500x(100x180)y10x1 500，令y0得x150，x150是函数f(x)的极大值点，即当旅游团人数为150时，旅行社收益最大答案：15014给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0，所以f(x)0，即是上的凸函数；对，f(x)2，f(x)，当x时，f(x)0，所以是上的凸函数；对，f(x)3x22
7、，f(x)6x，当x时，f(x)6x0，2x0，所以f(x)ex(2x)0，所以不是上的凸函数答案：15已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)0，0(x0)，则不等式x2f(x)0的解集是_解析：因为0，所以当x0时，是增函数，当x1时，f(1)0，得f(x)0，当0x1时，f(1)0，得f(x)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以当1x0，当x1时，f(x)f(x)0即x2f(x)0的解集是(1，0)(1，)答案：(1，0)(1，)16在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段
8、MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_解析：设点P(x0，e)，则f(x0)e(x00)所以f(x)ex(x0)在P点的切线l的方程为yee(xx0)所以M(0，ex0e)过P点的l的垂线方程为ye(xx0)，所以N.所以2tex0ee2ex0ex0e(x00)则(2t)2eex0eex0e(1x0)(ee)因为ee0，所以当1x00，即0x00，2t在x0(0，1)上单调递增；当1x01时，(2t)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)xexx2exx(x2)由x(x2)0，解得x0或x2.所以f(x)的增区间为(，2)，(0，)由x(x2)0，得2xm恒成立，所以m0.故m的取值
9、范围为(，0)19(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件的过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN*)(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意可知次品率p日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1p)因为次品率p，当每天生产x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0，得x16或x32(舍去)当0x0；当x16时，T0；所以当x16时，T最大即该厂的日
10、产量定为16件，能获得最大盈利20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax3bx24x的极小值为8，其导函数yf(x)的图象经过点(2，0)，如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)若函数yf(x)k在区间3，2上有两个不同的零点，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax22bx4，且yf(x)的图象过点(2，0)，所以2为3ax22bx40的根，代入得：3ab10，由图象可知，f(x)在x2时取得极小值，即f(2)8，得b2a.由解得a1，b2，所以f(x)x32x24x.(2)由题意，方程f(x)k在区间3，2上有两个不等实根，即方程x32x24xk在区间3，2上有两个不等实根f(x)3
11、x24x4，令f(x)0，解得x2或x，可列表：x3(3，2)22f(x)00f(x)3极小值8极大值8由表可知，当k8或3k0，且对任意x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小解：(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).当a0时，f(x).a若b0，当x0时，f(x)0，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.显然x10.当0xx2时，f(x)x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(，)；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(，)(2)由题意知函数f(x)在x1处取得最小值由(1)知是f(x)的惟一极小值点，故1.整理，得2ab1，即b12a.令g(x)24xln x，则g(x).令g(x)0，得x.当0x0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减因此g(x)g1ln 1ln 40.故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a2b.