1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1设直线l方向向量v，平面的法向量n，若l，则x()A1 B0 C5 D4【解析】选A.由l，则vn，则存在非零常数，使得vn，即解得x1.2空间中，与向量a(3，0，4)同向共线的单位向量为()Ae(1，0，1)Be(1，0，1)或e(1，0，1)CeDe或e【解析】选C.因为|a|5，所以与a同向共线的单位向量e(3，0，4).3已知在正方体ABCDA1
2、B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则m，n的值分别为()A， B，C， D，【解析】选A.由于(DD1)，所以m，n.4如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是()A B C D【解析】选B.如图建立空间直角坐标系，则O，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，所以，由于AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以ABA1D，又AD1A1D，ABAD1A，所以A1D平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量为(1，0，1)，所以点O到平面ABC1D1的距离为d.5已知
3、空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(1，3，1)，则()A与是共线向量B的单位向量是C与夹角的余弦值是D平面ABC的一个法向量是【解析】选D.由题意，对于A中，因为，则与不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为，所以的单位向量为或，所以是错误的；对于C中，向量，所以cos ，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是n，因为，所以令x1，则y2，z5，所以平面ABC的一个法向量为n，所以是正确的6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A B C2 D【解析】选A.如图，以C为
4、坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2).设ADa(0a2)，则点D的坐标为(1，0，a)，(1，0，a)，(0，2，2).设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m(a，1，1).又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos 60，得，即a，故AD.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：AC1EG；GCED；B1F平面BGC1；EF和BB1所成角为.正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选C.设正方
5、体的棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，A，C1，G，C，E，D，B1，F，B.，2200，所以AC1EG，故正确，不存在实数使，故GCED不成立，故错误，0，20，故B1F平面BGC1不成立，故错误，设EF和BB1所成角为，则cos ，由于，所以，故正确综上所述，正确的命题有2个8已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60， 则直线 BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于()A B C D【解析】选B.直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60，取AB中点E，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则B，C1
6、，A(0，0，0)，A1(0，0，2)， ， ，设平面ABB1A1的法向量n，则 ，取x1，得n，设直线BC1与平面ABB1A1所成角为，则sin ，所以cos ，所以直线BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9在四面体PABC中，以下叙述正确的有()A若，则可知3B若Q为ABC的重心，则C若0，0，则0D若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则1【解析】选ABC.对于A，因为，所以32，所以22，所以2，所以3，即3，故A正确；对于B，若Q为ABC的重心，则0，所以33，所以3，
7、即，故B正确；对于C，因为0，0，所以0，所以0，所以0，所以0，所以0，所以0，故C正确；对于D，因为，所以，因为2，所以.故D错误10关于空间向量，以下结论正确的是()A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C设是空间中的一组基，则ab，bc，ca也是空间的一组基D若ab0，则a，b是钝角【解析】选ABC.A中根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；B中对空间中任意一点O，有，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；C中由是空间中的一组
8、基，则向量a，b，c不共面，可得向量ab，bc，ca也不共面，所以也是空间的一组基，所以是正确的；D中ab0，由a，b0，所以a，b，所以不正确11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4，AC，BD交于点E，则()AM为PB的中点B二面角BPDA的大小为C若O为AD的中点，则OPOED直线MC与平面BDP所成的角为【解析】选ABC.如图，连接ME，因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点如图，取AD的中点O，连接OP，OE.
9、因为PAPD，所以OPAD.又因为AD是平面PAD和平面ABCD的交线，且平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为四边形ABCD是正方形，所以OEAD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(2，4，0)，(4，4，0)，(2，0，).设平面BDP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1，1，).平面PAD的法向量为p(0，1，0)，所以cos n，p.由题意知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为.由题意知M，C(2，4，0)，.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |co
10、s n，|，所以直线MC与平面BDP所成角不为.12如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则以下结论正确的是()AVPAA1DB点P必在线段B1C上CAPBC1DAP平面A1C1D【解析】选BD.对于A，因为P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1平面AA1D，所以点P到平面AA1D的距离即为点C到平面AA1D的距离，即为正方体棱长，所以CD111，A错误；对于B，以D为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则A，P，B，D1，B1，C，所以，因为APBD1，所以1x1z0，所以xz，即P，所以，所以xB1C，即
11、B1，P，C三点共线，所以P必在线段B1C上，B正确；对于C，因为，所以1xx1，所以AP与BC1不垂直，C错误；对于D，因为A1，C1，D，所以，设平面A1C1D的法向量n，所以令x1，则z1，y1，所以n，所以nx11x0，即n，所以AP平面A1C1D，D正确三、填空题(每小题5分，共20分)13在空间直角坐标系中，点P(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，1，0)，B(0，2，3)，若平面ABC的一个法向量为(1，m，1)，则点P到平面ABC的距离为_【解析】在空间直角坐标系中，A(1，1，0)，B(0，2，3)，所以，而平面ABC的一个法向量为n(1，m，1)，所以n0，即1m
12、30，解得m2，所以n(1，2，1)，点P(0，0，1)，则，则由点到平面的距离公式可得d.答案：14如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1a，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，故(2，2，0)，(2，0，a)，(0，0，a).设平面ACD1的一个法向量为n(x，y，z)，则，可取n，故cos n，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以，解得a4.答案：415如图所示，PD
13、垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos ，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_【解析】设PDa，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E(1，1，).所以(0，0，a)，(1，1，).由cos ，得a，所以a2，所以点E的坐标为(1，1，1).答案：(1，1，1)16如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分别是AB和SC的中点则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为_，直线SM与平面SAC所成角大小为_【解析】因为ASBBSCCSA，所以以S为坐标原点，分别以SA，SB，SC为x，
14、y，z轴建立空间直角坐标系设SASBSC2，则M(1，1，0)，B(0，2，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，0，2).因为(1，1，0)，(0，2，1)，cos ，所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，平面SAC的一个法向量为(0，2，0)，则由cos ，得，即直线SM与平面SAC所成角大小为.答案：四、解答题(共70分)17(10分)已知向量a(1，3，2)，b(2，m，4).(1)若ab，求实数m的值；(2)若ab，求实数m的值【解析】(1)a(1，3，2)，b(2，m，4)，若ab，则(1，3，2)(2，m，4)，解得故m6.(2)若ab，则ab23m80，解得m.
15、18(12分)已知在空间直角坐标系中，A(1，2，4)，B(2，3，0)，C(2，2，5).(1)求，2，；(2)若点M满足，求点M的坐标；(3)若p，q，求(pq)(pq).【解析】(1)因为A(1，2，4)，B(2，3，0)，C(2，2，5)，所以(3，5，4)，(1，0，9).所以(4，5，5)，又(4，5，5)，(3，5，4)，所以2(10，15，3)，又(3，5，4)，(1，0，9)，所以303633.(2)由(1)知，(3，5，4)(1，0，9)，设M(x，y，z)，则(x1，y2，z4)，于是解得故M.(3)由(1)知，p(1，0，9)，q(4，5，5).(pq)(pq)|p|2
16、|q|2826616.19(12分)如图所示，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值【解析】(1)在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABAD cos DAB，即BD24161612，所以BD2，所以BD2AB2AD2，所以ABD和EBD均为直角三角形，所以EDDB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD平面ABD，ED平面EBD，所以ED平面ABD.又AB平面ABD，所以ABDE.(2)由(1)知ABDCDB90，以
17、D为坐标原点，射线DB，DC，DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，2，0)，F(，0，1)，所以(2，2，0)，(0，0，2)，(，2，1).设平面ADE的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y，z0，所以n(1，0).设直线AF与平面ADE所成的角为，则有sin |cos n，|.所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为.20(12分)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离【解析】(1)连接AB1交A1B于点E
18、，连接DE，则点E为AB1中点，又D是AC的中点，所以DEB1C，因为DE平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD；(2)因为B1C平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1，B，A1，.设平面A1BD的法向量为n，所以即即令z1，则n.所求距离为d.21(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，D是棱A1B1的中点，侧棱CC1底面ABC.(1)求异面直线CB1与AC1所成的角的大小；(2)求平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值【解析】(1)因为侧棱CC
19、1底面ABC，所以CC1AC，CC1BC.又因为ACBC，所以可以以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz如图所示因为AA1，BB1，CC1都是三棱柱ABCA1B1C1的侧棱，且CC1底面ABC，所以四边形AA1C1C与CC1B1B都是矩形因为ACBCCC12，所以矩形AA1C1C与CC1B1B都是边长为2的正方形所以C(0，0，0)，A(0，0，2)，B1(2，2，0)，C1(0，2，0).所以(2，2，0)，(0，2，2).所以cos ，所以异面直线CB1与AC1所成的角的大小是60.(2)因为D是棱A1B1的中点，所以D(1，2，1).由(1)，知
20、C(0，0，0)，A(0，0，2)，C1(0，2，0).所以(0，2，0)，(0，2，2)，(1，2，1).因为侧棱CC1底面ABC，所以(0，2，0)是平面ABC的法向量设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则即解得故可取n(1，1，1).所以cos ，n.所以sin ，n.故平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值为.22(12分)如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为4的等边三角形，PAAC，BDCD2，PCPB4，点E为BC的中点，平面BDC平面ABC.(1)求证：DE平面PAC.(2)线段BC上是否存在一点T，使得二面角TDAB为直二面角？若存在，试指出点T的位置；若不存在
21、，请说明理由【解析】(1)因为BDCD2，ABC是边长为4的等边三角形，所以BD2CD22216BC2，所以BDC是等腰直角三角形，BDC90.又点E为BC的中点，所以DEBC.因为平面BDC平面ABC，平面BDC平面ABCBC，且DE平面BDC，所以DE平面ABC.因为PCPB4，PAACAB4，所以PA2AC2424232PC2，PA2AB2424232PB2，所以PAB与PAC都是直角三角形，故PAAC，PAAB.又ACABA，所以PA平面ABC，所以DEPA.因为PA平面PAC，DE平面PAC，所以DE平面PAC.(2)连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，设存在T，使得二面角TDAB为直二面角，易知22，且0.设平面BAD的法向量为n1，则即令z11，得x11，y1，故n1.设平面TAD的法向量为n2，则令z21，得x2，y2，故n2.由cos n1，n20，得10，故.所以当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角TDAB为直二面角关闭Word文档返回原板块- 24 - 版权所有高考资源网
