1、第二节 直线的交点坐标与距离公式【知识梳理】1.两条直线的交点 唯一解 无解 有无数组解 2.三种距离 三种距离 条件 公式 两点间的 距离 A(x1,y1),B(x2,y2)|AB|=_ 点到直线 的距离 P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d d=_ 两平行线 间的距离 直线Ax+By+C1=0到直线Ax+By+C2=0的距离为d d=_ 221212xxyy0022AxByCAB1222CCAB【特别提醒】1.求点到直线的距离:若给出的直线不是一般式,则应 化为一般式.2.求两平行线间的距离:在运用两平行直线间的距离公 式d=时,一定要注意把两方程中x,y的系数化为 相等.1
2、222CCAB【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修2P110B组T1改编)直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为 .【解析】解方程组 可得 所以直线2x-y=-10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a(-9)-2,所以a=答案:2xy10,yx1,x9,y8,2.3232.(必修2P110B组T4改编)已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为 .【解析】由点到直线的距离公式可知 解得a=-4或 答案:-4或 22|3a2 1|a4 1|.a1a1 1.212感悟考题 试一试 3.(2016菏泽
3、模拟)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离 是()【解析】选D.由点到直线的距离公式可知:点(1,-1)到 直线x-y+1=0的距离d=1323 2A.B.C.D.2222221113 2.211 4.(2016济宁模拟)直线l1的斜率为2,l1l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为()A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)D.(0,3)【解析】选D.因为l1l2,且l1的斜率为2,所以l2的斜率为2.又l2过点(-1,1),所以l2的方程为y-1=2(x+1),整理即得:y=2x+3,令x=0,得y=3,所以P点坐标为(0,3).5.(2016泰安模拟)点P
4、(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距 离的最大值等于 .【解析】点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离为d=由于 当且仅当k=1时取等号,所以d 即距离的最大值等于 答案:223 k12k3 1,k11k22k1,k1 3 2,3 2.3 2考向一 直线的交点【典例1】(1)当0k 时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12(2)已知直线l经过点P(3,1),且被两条平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.【解题导引】(1)可由两直线方程求出交点坐标
5、,再判断其横坐标和纵坐标的符号即可.(2)先求出交点坐标,再利用交点间的距离即可确定直线方程.【规范解答】(1)选B.解方程组 得两直线 的交点坐标为 因为0k0,且 0.解得 m0)到 直线l:x-y+2=0的距离为1,则实数m的值为()A.2 B 22 C.21 D.21(2)(2016烟台模拟)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1【解题导引】(1)利用点到直线的距离公式,得出关于m的方程,解方程即得m的值.(2)设出点C的坐标,依据三角形的面积,即可求出点C的个数.【规范解答】(1)选C.由
6、d=解得m=-1或m=-1(舍).22m 1 2111 ，22(2)选A.设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0,|AB|=由于ABC的面积为2,则这个三角形中AB边上的高h满足方程 即h=由点到直线的距离公式得 即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或者t2+t-2=-2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根,故这样的点C 有4个.2 2.12 2h22 ，2.2tt222，【技法感悟】距离的求解思路 1.两点间距离公式的应用类型(1)直接应用公式求距离.(2)根据距离求相关参量的值.(3)常用距离公式构造函数,解决最值、范围等问题.2.点到直线的距离 可直接利用点到直线的距
7、离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.3.两平行直线间的距离(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.【题组通关】1.(2016新乡模拟)已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到 直线l的距离分别是 则满足条件的直线l的条 数为()A.1 B.2 C.3 D.4 252，【解析】选C.由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条,又因为|AB|=所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.5，2.(2016聊城模拟)已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1 与l2的距离是 ,则直线l1的
8、方程为 .【解析】因为l1与l2:x+y-1=0平行,所以可设l1的方程为x+y+b=0(b-1).又因为l1与l2的距离是 2，2所以 解得b=1或b=-3,即l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.答案:x+y+1=0或x+y-3=0 22b 1211，3.(2016烟台模拟)已知直线l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点P(3,4).(1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标.(2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方程.【解析】(1)直线l的方程可化为a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,由 得 所以直线l恒过定点(-2,3).2xy 10,xy 10,x2,y3,(2)由(1)知直线l恒过定点A(-2,3),当直线l垂直于直线PA时,点P到直线l的距离最大.又直线PA的斜率kPA=所以直线l的斜率kl=-5.故直线l的方程为y-3=-5(x+2),即5x+y+7=0.431325，