1、2015-2016学年江西省赣州市南康中学高三（下）第四次大考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合A=x|x10，B=x|x25x+60，则AB=（）A2，3B（2，3）C1，+）DR2设i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=2i1，则复数在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）AxR，f（x）f（x）BxR，f（x）f（x）Cx0R，f（x0）f（x0）Dx0R，f（x0）f（x0）4已知sin（+）=，
2、则2sin21（）ABCD5若实数x，y满足约束条件的最大值为（）AB11C0D96某饮料店某5天的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间的数据如表：x21012y54221甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的四个线性回归方程：=x+3，=x+2.8，=x+2.6，=x+2.4，其中正确的方程是（）ABCD7已知函数f（x）=，若f（4）=2f（a），则实数a的值为（）A1或2B2C1D28椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）ABCD9若某几何体的三视图（单位：cm）如图
3、所示，则此几何体的体积等于（）A16cm3B20cm3C24cm3D28cm310y=sin（x+）（0）与y=a函数图象相交于相邻三点，从左到右为P、Q、R，若PQ=3QR，则a的值为（）ABCD111执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A6B6C5D512已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：x1045f（x）1221函数f（x）的值域为1，2；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题的个数是（）A4
4、个B3个C2个D1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000，1050，1200，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出名学生14已知向量、满足|=1，|=，且（32），则与的夹角为15设ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4csinA，若ABC的面积S=10，b=4，则a的值为16已知F为抛物线C：y2=2x的焦点，点E在射线l：x=（y0）上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q（，），与抛物线C交于点P，则PEQ的面积为三、解答题：本题共5小题，共70分，
5、解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=anlogan，求数列bn的前n项和Sn18如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，ABC=60，点E为BC中点，点F为B1C1中点（）求证：平面A1ED平面A1AEF；（）求三棱锥EA1FD的体积19根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值
6、；（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这55人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率20如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2（1，0）为焦点的抛物线的一部分，是曲线C1和C2的交点（I）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线的方程；（II）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C2交于C，D两点，求CDF1面
7、积的取值范围21已知函数f（x）=lnx+t（x1），t为实数（1）当t=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若当t=时，f（x）0在（1，+）上恒成立，求实数k的取值范围选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图ABC内接于O，且AB=AC，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D（）求证：AC2=APAD；（）若ABC=60，O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），定P（1，0）（1）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|BP|的值（2
8、）过点P作曲线C的切线m（斜率不为0），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求切线m的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4的解集为M（1）求M；（2）当a，bM时，证明：2|a+b|4+ab|2015-2016学年江西省赣州市南康中学高三（下）第四次大考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合A=x|x10，B=x|x25x+60，则AB=（）A2，3B（2，3）C1，+）DR【考点】并集及其
9、运算【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的并集即可【解答】解：由A中不等式解得：x1，即A=1，+），由B中不等式变形得：（x2）（x3）0，解得：x2或x3，即B=（，23，+），则AB=R，故选：D2设i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=2i1，则复数在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质化简，找出它在复平面内的对应点的坐标【解答】解：复数=（1i）（1+2i）=1+3i，在复平面内的对应点为（1，3），故选A3已知定义域
10、为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）AxR，f（x）f（x）BxR，f（x）f（x）Cx0R，f（x0）f（x0）Dx0R，f（x0）f（x0）【考点】全称命题；特称命题【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：xR，f（x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案【解答】解：定义域为R的函数f（x）不是偶函数，xR，f（x）=f（x）为假命题；x0R，f（x0）f（x0）为真命题，故选：C4已知sin（+）=，则2sin21（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可【解答】解：sin（+）=，可得：cos
11、=则2sin21=cos=故选：A5若实数x，y满足约束条件的最大值为（）AB11C0D9【考点】简单线性规划【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2xz在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2xz经过的可行域内的点的坐标，代入z=2xy中即可【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2xy有最大值9故选D6某饮料店某5天的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间的数据如表：x21012y54221甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的四个线性回归
12、方程：=x+3，=x+2.8，=x+2.6，=x+2.4，其中正确的方程是（）ABCD【考点】线性回归方程【分析】由数据求得样本中心点（，）可得，利用样本中心点满足线性回归方程，即可得出结论【解答】解：由=0， =2.8，线性回归方程过这组数据的样本中心点，点（0，2.8）满足线性回归方程，代入检验只有符合故选：B7已知函数f（x）=，若f（4）=2f（a），则实数a的值为（）A1或2B2C1D2【考点】分段函数的应用【分析】利用分段函数对a是否大于0，列出方程求解即可【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=2，当a0时，f（4）=2f（a）=2，解得a=2当a0时，f（4）=2f（a），2a
13、2=2，解得a=1，综上a=1或2故选：A8椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得1，进而求得a和c的关系式，进而求得e【解答】解：依题意可知点F（c，0）直线AB斜率为 =，直线BF的斜率为 =FBA=90，（）=1整理得c2+aca2=0，即（）2+1=0，即e2+e1=0解得e=或0e1e=，故选C9若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于（）A16cm3B20cm3C24cm3D28cm3
14、【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3如图所示【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3如图：V=V棱柱V棱锥=345=24（cm3），故选：C10y=sin（x+）（0）与y=a函数图象相交于相邻三点，从左到右为P、Q、R，若PQ=3QR，则a的值为（）ABCD1【考点】正弦函数的图象【分析】根据题意得出点Q、P的横坐标的差等于函数的周期，点R、Q的连线段的垂直平分线是函数图象的一条对称轴由此设出P、R
15、、Q三点的坐标，建立方程组解出其中一点的横坐标值，即可求出a的值【解答】解：设P（x1，a），R（x2，a），Q（x3，a），根据P、R、R为相邻三点，从左到右为P、R、R，且PR=3RQ，如图所示；则，（kZ）由PR=3RQ，得x2x1=3（x3x2），由联立，解得x2=+，（kZ）因此，a=f（x2）=sin（x2+）=sin（+k）=故选：B11执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A6B6C5D5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当i=1时，满足进行循
16、环的条件，执行循环体后，S=1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=10；当i=10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=1
17、1；当i=11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C12已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：x1045f（x）1221函数f（x）的值域为1，2；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题的个数是（）A4个B3个C2个D1个【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排
18、除即可得到答案【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：为假命题；为真命题因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x1，t时，f（x）的最大值是2，那么0t5，故t的最大值为5，即错误函数f（x）在定义域为1，5共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即错误，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000，1050，1200，若按分层抽样从全校
19、抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出1名学生【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：各年级学生数分别是1000，1050，1200，各年级学生数的比例为1000：1050：1200=20：21：24，按分层抽样从全校抽出65名学生，各年级抽出的学生分别是20，21，24，高二年级比高一年级多抽出1名学生，故答案为：114已知向量、满足|=1，|=，且（32），则与的夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】设与的夹角为，则由题意可得（32）=321cos=0，求得cos 的值，可得 的值【解答】解：向量、满足|=1，|=，且（32），设与的夹
20、角为，（32）=32=321cos=0，求得cos=，=，故答案为：15设ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4csinA，若ABC的面积S=10，b=4，则a的值为【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据A为三角形的内角，得到sinA不为0，等式两边同时除以sinA，得到tanC，由C为三角形的内角，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可得解a的值【解答】解：，4csinA=3acosC变形为：4sinCsinA=3sinAcosC，又A为三角形的内角，sinA0，4sinC=3cosC，即tanC=，C为三角形的
21、内角，可得：cosC=，sinC=，b=4，S=10=absinC=，解得：a=故答案为：16已知F为抛物线C：y2=2x的焦点，点E在射线l：x=（y0）上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q（，），与抛物线C交于点P，则PEQ的面积为【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出F坐标，进而根据垂直平分线的性质，求出E点坐标，进而求出EF中点坐标，再求出PQ所在直线方程，联立抛物线方程后可得P点坐标，最后可得PEQ的面积【解答】解：F为抛物线C：y2=2x的焦点，F点的坐标为（，0），又线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q（，），QE=QF=，E点坐标为：（，2），则EF的中点为（0，1），PQ所
22、在的直线方程为：y=x+1，代入y2=2x得：x=2，y=2，即P点坐标为（2，2），PEQ的面积S=，故答案为：三、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=anlogan，求数列bn的前n项和Sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列bn的通项公式，然后求出Sn（2Sn），
23、即可求得的前n项和Sn【解答】解：（I）设等比数列an的首项为a1，公比为qa3+2是a2，a4的等差中项2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8a2+a4=20或数列an单调递增an=2n（II）an=2nbn=n2nsn=12+222+n2n 2sn=122+223+（n1）2n+n2n+1 得，sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+1n2n+1218如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，ABC=60，点E为BC中点，点F为B1C1中点（）求证：平面A1ED平面A1AEF；（）求三棱锥
24、EA1FD的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）由已知中AB=2，BC=4，ABC=60，点E为BC中点，我们易得到AEB=60，CED=30，进而得到AEED，又由AA1底面ABCD，得AA1ED，结合线面垂直的判定定理得到ED平面AA1EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A1ED平面A1AEF；（）将三棱锥EA1FD的体积转化为三棱锥DA1FE的体积，求出棱锥的高及底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解：（）证明：AB=2，BC=4，ABC=60，点E为BC中点，ABC为等边三角形，AEB=60CDE中，CED=30AEEDAA1底面ABC
25、D，AA1ED，又由AEAA1=AED平面AA1EF又ED平面A1ED平面A1ED平面A1AEF；（）三棱锥EA1FD的体积与三棱锥DA1FE的体积相等其中DE为棱锥的高，又DE=ADsin30=2V=19根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人
26、，并在这55人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）直方图中，频率=组距纵坐标及频率和为1，列出方程组；（2）利用分层抽样从样本中抽取5人，其中年龄在30，50）为3人，其余年龄段的为2人，取到所有的抽取情况及得代金卷总和为90元的情况列出，利用古典概型概率公式求出【解答】解：（1）由已知可得，解得：a=0.035，b=0.025（2）利用分层抽样从样本中抽取5人，其中年龄在30，50）为3人，其余年龄段的为2人随机抽取3人，有=10种，此3人获得代金券的金额总和为90元，则需要2个20元
27、和1个50元，有=6种，此3人获得代金券的金额总和为90元的概率为=0.620如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2（1，0）为焦点的抛物线的一部分，是曲线C1和C2的交点（I）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线的方程；（II）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C2交于C，D两点，求CDF1面积的取值范围【考点】圆锥曲线的综合【分析】（I）先设出抛物线以及椭圆方程，根据F2（1，0）为焦点，求出p=1，得到抛物线方程；再根据（，）在椭圆上，即可求出椭圆方程；（II）设出直线方程x=my+1，并根据条件求出m的取值范围；再联立直线与抛物线方
28、程，根据韦达定理以及|y1y2|=求出三角形面积的表达式，最后结合m的取值范围即可求出CDF1面积的取值范围【解答】解：（I）设抛物线方程为：y2=2px，由F2（1，0）为焦点，所以p=1y2=4x设椭圆方程为；代入（，），解得a2=9，所以椭圆方程为： =1（II）设直线方程为：x=my+1，则m（，0）（0，）由得y24my4=0设C（x1，y1），D（x2，y2）则y1+y2=4m，y1y2=4所以=2|y1y2|=4，因为m2（0，）S（4，）21已知函数f（x）=lnx+t（x1），t为实数（1）当t=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若当t=时，f（x）0在（1，+）上恒成立
29、，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）当t=时，f（x）0在（1，+）上恒成立，可得kxlnx+在（1，+）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=ln x+（x1），f（x）=+1，令f（x）=0，x=1，x（0，+）故函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+）；（2）当t=时，f（x）0在（1，+）上恒成立，可得kxlnx+在（1，+）上恒成立，令y=xlnx+，则y=lnx1+x，y=+10，y在（
30、1，+）上单调递增，yln11+1=0，y在（1，+）上单调递增，y，k选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图ABC内接于O，且AB=AC，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D（）求证：AC2=APAD；（）若ABC=60，O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）根据三角形中两条边相等，得到对应的两个底角相等，证明两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，得到比例式，通过等量代换得到要求的等式（II）根据有一个顶角是60的等腰三角形是等边三角形，得到BAC=60，从而得到BAP=90，即BP是圆的直径，在直角三角形中利
31、用勾股定理得到结果【解答】（I）证明：连接BP，AB=AC，ABC=ACB又ACB=APB，ABC=APB，ABPABD即AB2=APAD，AB=AC，AC2=APAD（II）ABC=60，AB=AC，ABC是等边三角形，BAC=60，P为为弧AC的中点，ABP=PAC=30，BAP=90，BP是圆的直径，BP=2，AP=BP=1，在直角三角形PAB中，AB2=BP2AP2=3，AD=选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），定P（1，0）（1）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|BP|的值（2）过点P作曲线C
32、的切线m（斜率不为0），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求切线m的极坐标方程【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的参数方程代入，利用参数的几何意义，即可求解；（2）设过点P作曲线C的切线为x=ny1（n0），代入抛物线方程，整理，利用=0，求出普通方程，再化为极坐标方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），普通方程为y=2x2，将直线l的参数方程代入可得t2（4+）t+4=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=4，|AP|BP|=|t1t2|=4；（2）由题意，切线斜率一定存在，设过点P作曲线C的切线为x=ny
33、1（n0），代入抛物线方程，整理可得2nx2x1=0，=1+8n=0，n=切线m的直角坐标方程为8x+y+8=0，极坐标方程为8cos+sin+8=0选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4的解集为M（1）求M；（2）当a，bM时，证明：2|a+b|4+ab|【考点】不等式的证明；带绝对值的函数【分析】（）将函数写成分段函数，再利用f（x）4，即可求得M；（）利用作差法，证明4（a+b）2（4+ab）20，即可得到结论【解答】（）解：f（x）=|x+1|+|x1|=当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f（x）=24；当x1时，由2x4，得1x2所以M=（2，2）（）证明：当a，bM，即2a，b2，4（a+b）2（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）（16+8ab+a2b2）=（a24）（4b2）0，4（a+b）2（4+ab）2，2|a+b|4+ab|2016年10月21日
