1、第三课时 导数的综合应用 考向一 利用导数研究函数的零点或方程的根【典例1】(2015全国卷)已知函数f(x)=x3+ax+g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.1,4【解题导引】(1)利用导数的几何意义,设切点为(x0,0),利用f(x0)=0,f(x0)=0列出方程组求解.(2)首先理解minm,n表示m,n中的最小值,然后按x(1,+),x=1,x(0,1)进行分类讨论,确定h(x)零点的个数.【规范解答】(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于
2、点(x0,0),则f(x0)=0，f(x0)=0，即 解得 因此，当 时，x轴为曲线y=f(x)的切线.300201xax0,43xa0.013x,a.24 3a4(2)当x(1,+)时，g(x)=ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)上无零点.当x=1时，若a 则f(1)=0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点；若a 则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数.(i)若a3或a0，则f(x)=3x2+a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1
3、)上单调.而 所以当a3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当 a0时，f(x)在(0,1)上没有零点.(ii)若3a0,则f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，故在(0,1)中，当 时,f(x)取得最小值，最小值为 15f 0,f 1a,44a(0,)3a(,1)3ax3 a2aa1f().3334若 即 f(x)在(0,1)上没有零 点；若 即 则f(x)在(0,1)上有唯一 零点；即 由于f(0)=f(1)=af()0,3 3a0,4 af()0,3 3a,4af()0,3 33a,41,45a,4所以当 时，f(x)在(0,1)上有两个零点；当30.(1)求f(x)的单调区间和极值
4、.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间 上仅有一个 零点.2xkln x,2(1,e)【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=因为k0,所以令f(x)=0得 列表如下:2kxkx.xxxk，x f(x)-0+f(x)极小值 (0,k)k(k,)减区间为 增区间为 当x=时,取得极小值 (0,k)，(k,).kkkln kf(k).2(2)当 1,即0k1时,f(x)在 上单调递增,f(1)=所以f(x)在区间 上没有零点.当 即1k0).若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,则a的取值 范围是()3211 axxaxa32，11A.(0,)B.(,1)C.1,2
5、 D.(0,)33【解析】选A.f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f(x)=0,得x=-1或a(a0).当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值 极小值 故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a).可知函数f(x)在区间(-2,-1)内单调递增;在区间(-1,0)内单调递减.从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,当且仅当 解得 所以a的取值范围是 f(2)0,f(1)0,f(0)0,10a.3 1(0).3，2.(2016临沂模拟)已知函数f
6、(x)=x2+xsinx+cosx的图象与直线y=b有两个不同的交点,则b的取值范围是 .【解析】设g(x)=f(x)-b=x2+xsinx+cosx-b.令g(x)=f(x)-0=x(2+cosx)=0,得x=0.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如表:x(-,0)0(0,+)g(x)-0+g(x)1-b 所以函数g(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,且g(x)的最小值为g(0)=1-b.当1-b0时,即b1时,g(x)=0至多有一个实根,曲线y=f(x)与y=b最多有一个交点,不合题意.当1-b1时,有g(0)=1-b4b-2b-1-b0.所以y=g(x)在
7、(0,2b)内存在零点.又y=g(x)在R上是偶函数,且g(x)在(0,+)上单调递增,所以y=g(x)在(0,+)上有唯一零点,在(-,0)也有唯一零点.故当b1时,y=g(x)在R上有两个零点,则曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+).答案:(1,+)3.已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在区间 上无零点,求a的最小值.1(0,)2【解析】(1)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,则f(x)=定义域x(0,+).由f
8、(x)0,得x2,由f(x)0,得0 x0;h(x)=2lnx,x0,则f(x)=m(x)-h(x).当a2时,m(x)在 上为增函数,h(x)在 上为增 函数,若f(x)在 上无零点,则 即 所以a2-4ln2,所以2-4ln2a2.1(0,)21(0,)21(0,)211m()h()22，112a(1)2ln 22，当a2时,在 上m(x)0,h(x)0,所以f(x)在 上无零点.由得a2-4ln2,所以amin=2-4ln2.1(0,)21(0,)24.(2014全国卷)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a.
9、(2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.【解析】(1)因为f(x)=x3-3x2+ax+2,所以f(x)=3x2-6x+a,f(0)=a,设切点A(0,2),切线与x轴交点为B(-2,0),则 kAB=f(0),即 所以a=1.20a02，(2)当k1时,令f(x)-kx+2=x3-3x2+x-kx+4=0.则 令g(x)=则g(x)=令h(x)=2x3-3x2-4,则h(x)=6x2-6x=6x(x-1),所以当x(0,1)时,h(x)0,h(x)递增;且h(0)0,h(2)=0.所以当x2时,h(x)0,g(x)2时,h(x)0,g(x)0,g(x)在(2,+
10、)上递增;所以当x(0,2)(2,+)时,g(x)g(2)=1,当x(-,0)时,单调递减,且g(x)(-,+).所以当k1时,g(x)=k仅有一个根,图象如图所示,所以当k-1,且x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0时,f(x)0,g(x)01.当-1x0时,g(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1.当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)在(-1,0)上单调递减.当-1xh(0)=0,即g(x)1.综上,总有g(x)(3)设实数k使得f(x)对x(0，1)恒成立，求k的最大值
11、.1xln.1x3x2(x).33xk(x)3【解题导引】(1)求出切点(0，f(0)，导数f(0)，代入得到切线方程.(2)构造函数F(x)=ln(1+x)ln(1x)证明 最小值大于0.(3)构造函数t(x)=x(0，1)，求导，讨论k的取值情况从而确定k的最大值.3x2(x)3，31xxlnk(x),1 x3【规范解答】(1)f(x)=x(-1,1),f(x)=f(0)=2,f(0)=0，所以切线方程为y=2x.(2)原命题等价于任意x(0,1),设函数F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-F(x)=1xln,1x22,1x 3xf x2(x)0.33x2(x)3，422x.1x当x
12、(0,1)时，F(x)0，函数F(x)在x(0,1)上是 单调递增函数.F(x)F(0)=0，因此任意x(0,1),f(x)(3)x(0,1)t(x)=x(0,1).3x2(x).331xxlnk(x),1 x331xxlnk(x)0,1 x3 42222kx2kt xk(1x),x0,1.1x1x当k0,2，t(x)0，函数t(x)单调递增，t(x)t(0)=0显然成立.当k2时，令t(x0)=0得 (0,1)，t(x)的变化情况列表如下：40k2xkx(0,x0)x0(x0,1)t(x)-0+t(x)极小值 t(x0)t(0)=0,显然不成立.当k0时,显然k取不到最大值.综上可知,k的最
13、大值为2.【技法感悟】1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)=0 D.无法确定【解析】选B.因为函数f(x)在区间(a,b)内函数的导数为正,所以函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,而f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内有f(x)0,即x(0,1时,f(x)=ax3-3x+10,可化为 设g(x)=则g(x)=所以g(x)在区间 上单调递增,在区间 上单
14、调 递减,2331a.xx2331xx，43(12x)x，1(02，1,12因此g(x)max=从而a4.当x0,即x-1,0时,同理,g(x)在区间-1,0上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a4,综上,可知a=4.答案:4 1g()42 ，2331a.xx3.(2016长沙模拟)已知f(x)=xln x，g(x)=-x2+ax-3.(1)对一切x(0，+)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a的取值范围.(2)证明：对一切x(0，+)，恒成立.x12ln xeex【解析】(1)由题意知2xln x-x2+ax-3对一切 x(0，+)恒成立，则 设h(x)=则h(x)=当x(
15、0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减.3a2ln xxx，32ln xxx0 x，2(x3)(x1).x当x(1，+)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)min=h(1)=4，对一切x(0，+)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min=4,即实数a的取值范围是(-，4.(2)问题等价于证明 (x(0，+).又f(x)=xln x，f(x)=ln x+1，当x 时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 xx2xln xee1(0,)e1(,)e min11f xf().ee 设m(x)=(x(0，+)，则m(x)=易知m(x)max=m(1)=从而对一切x(0，+)，恒成立.
16、xx2eex1 xe，1e，x12ln xeex考向三 利用导数研究生活中的优化问题【典例4】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长 度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半 球形,按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平 方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为 4千元.设该容器的总建造费用为y千元.643(1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.【解题导引】(1)该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的,利用公
17、式求出每部分的表面积.(2)利用导数求出函数的最值.【规范解答】(1)因为容器的体积为 立方米,所以 解得 所以圆柱的侧面积为2rl=两端两个半球的表面积之和为4r2,所以y=f(r)=又 所以定义域为 643324 r64r,33 l2644 r,3r3l226441288 r2 r(r)3r33r3，221288 r()34 r43r3 21288 r,r 432644 r0r23r3，l43(0,2).(2)因为 所以令y0,得 令y0,得0r0,得 令y0,得0r2,故当r 时,函数单调递减,故当 时,32212816(r8)y16 rrr ，432r2；3(0,23r2min310y
18、.3【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题,结合实际问题作答.【变式训练】(2016临沂模拟)某商场销售某种商品 的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售 价格x(单位:元/千克)满足关系式 其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日 可售出该商品11千克.2ay10 x6x3，(1)求a的值.(2)若
19、该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x9时,y0,所以函数y=-x3+81x-234在(9,+)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点,又因为函数在(0,+)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.132.(2016吉林模拟)某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f(x)(单位:元/kg)与时间x
20、(单位:天,x(0,8且xN+)的数据如表:时间x 8 6 2 价格f(x)8 4 20(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄 瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=ax+b,f(x)=ax2+bx+c,f(x)=abx,其中a0,并求出此函数.(2)在日常生活中,黄瓜的价格除了与上市日期相关,与 供给量也密不可分.已知供给量h(x)=(xN+).在供给量的限定下,黄瓜实际价格g(x)=f(x)h(x).求黄瓜实际价格g(x)的最小值.15x318【解析】(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系的函数不是单调函数,这与函数f(x)=ax+b,f(x)
21、=abx,均具有单调性不符,所以,在a0的前提下,可选取二次函数f(x)=ax2+bx+c进行描述.把表格提供的三对数据代入该解析式得到:解得a=1,b=-12,c=40.所以,黄瓜价格f(x)与上市时间x的函数关系是f(x)=x2-12x+40,x(0,8且xN+.64a8bc836a6ac44a2bc20，(2)因为g(x)=f(x)h(x),所以g(x)=所以g(x)=令g(x)=0,所以9x2-77x+150=0,即(x-3)(9x-50)=0,所以x=3或 令g(x)0,所以 或x3.2321517750100(x12x40)(x)xxx31831839，27750 xx.9350
22、x.950 x9又因为x(0,8,且xN+,所以函数g(x)在区间(0,3)和 上是增函数.同理函数g(x)在区间 上是减函数.又xN+,且g(1)g(6)g(5),所以g(x)最小值=g(1)=所以黄瓜价格的最小值约为 元/千克.50(89，50(3)9，2918，29183.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本为20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,销售量q公斤与ex成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100公斤.(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式.(2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.【解析】(1)设日销量 则 所以k=100e30，所以日销量 所以(2)当t=5时，xkqe，30k100e，30 x100eqe，30 x100e(x20t)y25x40.e30 x100e(x25)ye，30 x100e(26x)y.e 由y0得x26，由y0，得x26，所以y在区间25，26上单调递增，在区间26，40上单调递减，所以当x=26时，ymax=100e4，即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元.