1、第四节 直线、平面平行的判定及其性质 【知识梳理】1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线 与_的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为_ _,所以l 此平面内 la,a,l 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 一条直线与一个平 面平行,则过这条 直线的任一平面 与此平面的_ 与该直线平行(简记为“线面平行线线平行)因为_ _,_,所以lb 交线 l,l =b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条 _与另一个 平面平行,则这两 个平面平行(
2、简记 为“线面平行面 面平行”)因为_ _ _,_ _,所以 相交直线 a,b,ab=P a,b 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 如果两个平行 平面同时和第 三个平面_,那么它们的 _平行 因为_ _ _,所以ab 相交 交线 ,=a,=b【特别提醒】1.两个平面平行的有关结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则 .(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若 ,则 .2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是()A.若a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平
3、面 B.若直线a和平面 满足a,那么a与 内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面 满足ab,a,b,则b 【解析】选D.A错误,因a可能在经过b的平面内;B错 误,a与内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能 相交;D正确,由a,可得a平行于经过直线a的平面 与的交线c,即ac,又ab,所以bc,b,c,所以b.2.(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系 为 .【解析】连接BD,设BDAC=O,连接EO,在BDD1中,点E,O分别是DD1,BD的中点,则EOBD1,又因为EO平
4、面ACE,BD1平面AEC,所以BD1平面ACE.答案:平行 感悟考题 试一试 3.(2015北京高考)设,是两个不同的平面,m是 直线且m,“m”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m时,可能,也可能与相 交.当时,由m可知,m.因此,“m”是“”的必要而不充分条件.4.(2016潍坊模拟)设m,n是平面 内的两条不同直 线;l1,l2是平面 内的两条相交直线.则 的一个 充分而不必要条件是()A.m 且l1 B.ml1且nl2 C.m 且n D.m 且nl2【解析】选B.因为ml1,且nl2,又l1与l2是平面内
5、 的两条相交直线,所以,而当时不一定推 出ml1且nl2,可能异面.所以的一个充分而 不必要条件是B.5.(2016东营模拟)在空间中,用a,b,c表示三条不同 的直线,表示平面,给出下列四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a,b,则ab;若a,b,则ab.其中真命题的序号为 .【解析】根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”知是正确的;根据线面垂直的性质定理“垂直于同一个平面的两条直线平行”知是正确的;均不正确.答案:考向一 直线与平面平行的判定与性质【考情快递】命题方向命题视角证明直线与平面平行主要考查利用线面平行的判定定理或利用面面平行的性质证明线面平行线面平行性质
6、定理的应用主要考查利用线面平行性质定理得出线线平行,进而求解其他问题【考题例析】命题方向1:证明直线与平面平行【典例1】(2015山东高考改编题)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD平面FGH.【解题导引】构造线线平行或面面平行证明线面平行.【规范解答】如图,连接DG,CD,设CDFG=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形 DFCG为平行四边形,所以点O为CD的中点.又因为点H为BC的中点,所以OHBD.又因为OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.【一题多解
7、】解答本题,还有以下解法:因为DEF-ABC是三棱台,且AB=2DE,所以BC=2EF,因为点H为BC的中点,所以BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,所以BEHF.BE平面ABED,FH平面ABED,所以FH平面ABED,在ABC中,点G为AC的中点,点H为BC的中点,所以GHAB,同理GH平面ABED.又因为GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.命题方向2:线面平行性质定理的应用【典例2】(2014安徽高考)如图,四棱 锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四 条侧棱长均为2 .点G,E,F,H分别是 棱PB,AB,CD,PC
8、上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.17(1)证明:GHEF.(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.【解题导引】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH.(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,连接OP,GK,则 点K为OB的中点,由面面垂直得出GKEF,再由梯形面积 公式S=GK计算求解.GHEF2【规范解答】(1)因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC,同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,连接OP,GK,因为PA=PC,点O是AC的中点,所以POAC,同理可得P
9、OBD,又因为BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD,又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH,因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF,所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB=DB=OB,即点K是OB的中点.1412再由POGK得GK=PO,即点G是PB的中点,且GH=BC=4,由已知可得OB=4 ,PO=所以GK=3,故四边形GEFH的面积S=GK=3=18.121222PBOB68 326，2GHEF2482【技法感悟】1.证明直线与平面平行的两种重要
10、方法及关键 方法关键利用线面平行的判定定理在该平面内找或作一直线,证明其与已知直线平行利用面面平行的性质过该线找或作一平面,证明其与已知平面平行2.线面平行性质定理的应用 转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.【题组通关】1.(2014全国卷改编题)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,点E为PD的 中点,AB=1,求证:CE平面PAB.【证明】由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 .如图所示,延长DC,AB,设其交于点N,连接PN,因为NAC=DAC=60,ACCD,所以点C为ND的中点,又因为点E为PD的中点,所以EC
11、PN,因为EC平面PAB,PN平面PAB,所以CE平面PAB.3【一题多解】解答本题,还有以下方法:取AD中点为M,连接ME,MC,因为点E为PD的 中点,所以EMPA,EM平面PAB,PA平面 PAB,所以EM平面PAB,由已知得AC=2AB=2,AD=2AC=4,则CM=AM=2,所以BAC=ACM=60,所以MCAB,又因为CM平面PAB,所以CM平面PAB,而CMEM=M,所以平面EMC平面PAB,又因为CE平面EMC,所以CE平面PAB.2.(2016临沂模拟)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面 为直角梯形,ABCD,DAB=90,PA底面ABCD,且 PA=AD=DC=AB=1,M
12、是PB的中点.(1)求证:AM=CM.(2)若N是PC的中点,求证:DN平面AMC.12【证明】(1)因为在直角梯形ABCD中,AD=DC=AB=1,所以AC=,BC=,所以BCAC,又PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以BCPA,又PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC.在RtPAB中,M为PB的中点,则AM=PB,在RtPBC中,M为PB的中点,则CM=PB,所以AM=CM.12221212(2)如图,连接DB交AC于点F,因为DC=AB,所以DF=FB.取PM的中点G,连接DG,FM,则DGFM,又DG平面AMC,FM平面AMC,所以DG平面AMC.连接GN,则GNMC,GN
13、平面AMC,MC平面AMC.所以GN平面AMC,又GNDG=G,所以平面DNG平面AMC,又DN平面DNG,所以DN平面AMC.1212【加固训练】(2014山东高考改编题)如图,四棱锥 P-AB-CD中,ADBC,AB=BC=AD,点E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段 OF上一点.(1)求证:AP平面BEF.(2)求证:GH平面PAD.12【证明】(1)连接EC,因为ADBC,BC=AD,E为AD中点,所以BC AE,所以四边形ABCE是平行四边形,12所以点O为AC的中点,又因为点F是PC的中点,所以FOAP,又FO平面BEF,AP平面BEF,所以AP
14、平面BEF.(2)连接FH,OH,因为点F,H分别是PC,CD的中点,所以FHPD,FH平面PAD,PD平面PAD,所以FH平面PAD,又因为点O是AC的中点,点H是CD的中点,所以OHAD,同理OH平面PAD,又因为FHOH=H,所以平面OHF平面PAD.又因为GH平面OHF,所以GH平面PAD.考向二 面面平行的判定与性质【典例3】(2016烟台模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC上一点,且A1B平面AC1D,点D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1平面AC1D.【解题导引】先证点D是BC的中点,再证BD1DC1.【规范解答】如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED.
15、因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以点E是A1C的中点,因为A1B平面AC1D,平面A1BC平面AC1D=ED,所以A1BED,因为点E是A1C的中点,所以点D是BC的中点,又因为点D1是B1C1的中点,所以D1C1 BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1C1D.BD1平面AC1D,C1D平面AC1D,所以BD1平面AC1D,又因为A1BBD1=B,所以平面A1BD1平面AC1D.【规律方法】1.判定面面平行的方法(1)利用定义:常用反证法.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面
16、平行的性质(1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.(2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.3.证明线线平行的常用方法(1)利用公理4:找第三线,只需证明两线都与第三线平行即可.(2)利用三角形的中位线的性质.(3)构建平行四边形利用其对边平行.(4)利用面面平行的性质定理.易错提醒:利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【变式训练】1.(2016威海模拟)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分 别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平 面AEF,则线段A1P长度的取值范围是
17、()53 25A.1,B.,2425C.,2D.2,32 【解析】选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN平面AEF,所以点P位 于线段MN上.因为 21115A MA N1(),2222112MN()(),222所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当P位于MN中点O 时,A1P最小,此时 所以 所以线段A1P长度的取值范围是 221523 2A O()(),24413 25A P,423 25,.422.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形,点O是底面中心,A1O 底面ABCD,AB=AA1=.(1)证明:平面A1B
18、D平面CD1B1.(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2【解析】(1)由题设知,BB1 DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BDB1D1,又因为BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,所以BD平面CD1B1.因为A1D1 B1C1 BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BD1C,又因为A1B平面CD1B1,D1C平面CD1B1,所以A1B平面CD1B1,又因为BDA1B=B,所以平面A1BD平面CD1B1.(2)因为A1O平面ABCD,所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又因为AO=AC=1,AA1=,所以A1O=又因为SABD=所以 =SABDA1O
19、=1.122221AAAO1.1221,2 1 11ABD A B DV【加固训练】1.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,点H是B1C1的中点.(1)求证:E,B,F,D1四点共面.(2)求证:平面A1GH平面BED1F.【证明】(1)连接FG.因为AE=B1G=1,所以 BG=A1E=2,又因为BGA1E,所以四边形 BGA1E为平行四边形,所以A1GBE.又因为 C1FB1G,C1F=B1G,所以四边形C1FGB1为平行四边形,所以FGB1C1,FG=B1C1.又因为B1C1D1A1,B1
20、C1=D1A1,所以FGD1A1,FG=D1A1,所以四边形A1GFD1为平行四边形,所以A1GD1F,所以D1FBE.故E,B,F,D1四点共面.(2)因为点H是B1C1的中点,所以B1H=.又因为B1G=1,又因为 且FCB=GB1H=90.所以B1HGCBF,则B1GH=CFB=FBG.所以HGFB.又由(1)知,A1GBE,且HGA1G=G,FBBE=B,所以平面A1GH平面BED1F.3211B G2.B H3FC2BC3，2.平面 内有ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形BCDE的底DE=2,过EB的中点B1的平面 ,若 分别交EA,DC于A1,C1,求A1B1C1的面积.【
21、解析】因为,所以A1B1AB,B1C1BC,又因A1B1C1与ABC同向.所以A1B1C1=ABC.又因为cosABC=所以ABC=60=A1B1C1.又因为B1为EB的中点,2225871,2 5 82 所以B1A1是EAB的中位线,所以B1A1=AB=,同理知B1C1为梯形BCDE的中位线,所以B1C1=(BC+DE)=5.则 故A1B1C1的面积为 .5212121 1 1A B C111111 5325SA B B C sin 6053.22 228 2538考向三 线、面平行中的探索性问题【典例4】(2014四川高考)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(
22、1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1.(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.【解题导引】(1)先利用线面垂直的判定定理证明AA1平面ABC,再证明直线BC平面ACC1A1.(2)由于D,E分别是线段BC,CC1的中点,易猜想M应为线段AB的中点,只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可.【规范解答】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又由已知,ACBC,AA
23、1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(2)存在一点M(线段AB的中点),使DE平面A1MC.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1.设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点,连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MD AC,OE AC,因此MD OE,连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.1212【母题变式】1.本例题中在(2)的条件下,试在线段AB上
24、找一点N,使得平面DEN平面A1MC.【解析】取线段BM的中点N,连接DN,EN,在BMC中,DN是中位线,所以DNMC,由(2)知DEMO,又因为DNDE=D,MOMC=M,所以平面DEN平面A1MC,即当点N是BM的中点时,平面DEN平面A1MC.2.本例题中在(2)的条件下,试在线段A1B1上找一点F,使得平面BC1F平面A1MC.【解析】取A1B1的中点F,连接BF,C1F,BC1,因为A1F MB,所以四边形A1MBF是平行四边形,从而A1MBF,又因为DE是BCC1的中位线,所以DEBC1,又因为DEMO,则BC1MO,因为BFBC1=B,A1MMO=M,所以平面BC1F平面A1M
25、C,即当F是线段A1B1的中点时,平面BC1F平面A1MC.【规律方法】解决探索性问题的策略方法(1)根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.(2)按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要使成立”,“只需使成立”.【变式训练】如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证:CE平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD平面CEF?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.【解析】(1)如图所示,取PA的中点H,连接EH,DH,因为E为PB的中点,所以
26、EHAB,EH=AB,又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD,1212因此四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH,又DH平面PAD,CE平面PAD,因此CE平面PAD.(2)如图所示,取AB的中点F,连接CF,EF,所以AF=AB,又CD=AB,所以AF=CD,又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形,因此CFAD,1212又CF平面PAD,所以CF平面PAD,由(1)可知CE平面PAD,又CECF=C,故平面CEF平面PAD,故存在AB的中点F满足要求.【加固训练】1.(2016潍坊模拟)如图所示,四棱锥 P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱 PA底面ABCD,在侧面PB
27、C内,有BEPC 于点E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF平面PAD.63【解析】在平面PCD内作EGPD于点G,连接AG,因为PA底面ABCD,所以PACD,PABC,又因为CDAD,BCAB,PAAD=A,PAAB=A,所以CD平面PAD,BC平面PAB,所以CDPD,PBBC,所以CDEG,又ABCD,所以EGAB,若有EF平面PAD,则EFAG,所以四边形AFEG为平行四边形,EG=AF.因为CE=且PBC为直角三角形,2263a(a)a,33所以BC2=CECP,所以CP=a.故存在点F,当AFFB=21时,EF平面PAD.333aaAFEGPE23,ABCDCP33a又2.如
28、图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,点P是DD1的中点,设点Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?【解析】当点Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.证 明如下:因为点Q为CC1的中点,点P为DD1的中点,所以QBPA.因为点P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1BPO.又因为D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平 面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO,又因为D1BQB=B,D1B,QB平面D1BQ,所以平面D1BQ平面PAO.3.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是棱CC1的中点,问在棱
29、AB上是否存在一点E,使DE平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.【解析】方法一:存在点E,且E为AB的中点 时,DE平面AB1C1,下面给出证明:如图,取 BB1的中点F,连接DF,则DFB1C1,因为AB的 中点为E,连接EF,则EFAB1,B1C1AB1=B1,DFEF=F,所以平面DEF平面AB1C1,而DE平面DEF,所以DE平面AB1C1.方法二:假设在棱AB上存在点E,使得DE平面AB1C1,如图,取BB1的中点F,连接DF,EF,则DFB1C1,又因为DF平面AB1C1,所以DF平面AB1C1.又因为DE平面AB1C1,DEDF=D,所以平面DEF平面AB1C1,因为EF平面DEF,所以EF平面AB1C1,又因为EF平面ABB1,平面ABB1平面AB1C1=AB1,所以EFAB1,因为点F是BB1的中点,所以点E是AB的中点,即当点E是AB的中点时,DE平面AB1C1.