1、第二章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为(D)A(13,0) B(0，10)C(0，13)D(0，)解析：由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2已知焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m(A)A3 B3或 C D69解析：根据题意，解得m3.3若ABC的两个顶点坐标为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(A)A.1(y0) B.1(y0) C.1(y0)
2、D.1(y0)解析：由题意得|CA|CB|10|AB|，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点，且a5的椭圆又因为A，B，C三点不共线，所以顶点C的轨迹方程为1(y0)4若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为(D)A. B. C. D.解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为yx，点(3，4)在渐近线上，又a2b2c2，c2a2a2a2，e.5双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为(A)A. B. C. D.解析：抛物线y24x的焦点F(1,0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21，又e2，联立方程，解得m，n.故mn.6已知F1，F2
3、 为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率e，则椭圆的方程是(D)A.1 B.1 C.1 D.1解析：由椭圆的定义知|AF1|BF1|AB|4a16，a4.又e，c2，b242(2)24，椭圆的方程为1.7已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(A)Ax22y1 Bx22y Cx2y Dx22y2解析：焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p24q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x，y，即p2x，q2y1，代入p24q得，(2x)24(2y1)，即x22y1.8已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上
4、，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为(D)A. B2 C. D.解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图所示，|AB|BM|2a，MBA120，过点M作MHx轴于点H，则MBH60，|BH|a，|MH|a，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.9椭圆4x29y2144内有一点P(3,2)，设某条弦过点P，且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为(B)A3x2y120 B2x3y120 C4x9y1440 D9x4y1440解析：设满足题意的直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则两式相减得4(xx)9(yy
5、)0，即.由此可得所求的直线方程为y2(x3)，即2x3y120.10已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(D)A.1 B.1 C.1 D.1解析：因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb.所以yb.则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆C的方程为1，故选D.11设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一
6、点，与x轴正向的夹角为60，则|(B)A.p B.p C.p D.p解析：易知F.设A(x0，y0)，则.x轴方向上的单位向量为i(1,0)，由夹角为60，得cos60，将y2px0代入上式并化简，得，解得x0，y3p2.故|2xy3p2，|.12已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是(B)A2 B3 C. D.解析：设AB所在直线方程为xmyt.由消去x，得y2myt0.设A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y10，y20，b0)，则由题意知c，又e，因此a2，b1.故双曲线C的标准方程为y21，双曲线C
7、的渐近线方程为yx，即x2y0和x2y0.14如图，过直线y2与抛物线x28y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2(y2)216.解析：依题意，抛物线x28y的焦点(0,2)即为圆心，准线y2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2(2)4，故圆的方程为x2(y2)216.15已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是.解析：由题意，得消去m，n得4c2a2，故椭圆的离心率e.16已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y28x的焦点重合；过点
8、M(1,1)且斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，且M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为1.解析：焦点坐标为(2,0)设椭圆方程为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得，.1，代入式解得a28.b2a2c24，所求椭圆方程为：1.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy20的距离为3，求椭圆的标准方程解：依题意，设椭圆的方程为y21.设右焦点为(c,0)，则3，c，a2b2c23，椭圆方程为y21.18(12分)抛物线y与过点M(0，1)的直线l相交于A，B两点，O为坐标原
9、点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程解：设直线方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22kx20，(2k)24(2)4k280，x1x22k，x1x22，又12k2kkk，即k1，故所求直线方程为yx1.19(12分)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点
10、O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意，得，又点(2，)在C上，所以1，两方程联立，可解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21
11、)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.所以直线OM的斜率kOM，所以kOMk.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21(12分)设抛物线y24ax(a0)的焦点为A，以点B(a4,0)为圆心，|AB|为半径，在x轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，P为线段MN的中点(1)求|AM|AN|的值；(2)试问：是否存在实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图所示，设M，N，P在抛物线的准线上的射影分别为M1，N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|AN|MM1|NN1|xMxN2a.因为抛物线y24ax(
12、a0)的焦点为A，所以点A的坐标为(a,0)又B(a4,0)，所以|AB|4.所以圆的方程为x(a4)2y216，将y24ax代入，化简得x22(4a)xa28a0，所以xMxN2(4a)，故|AM|AN|8.(2)假设存在满足条件的实数a，则2|AP|AM|AN|.因为|AM|AN|MM1|NN1|2|PP1|，所以|AP|PP1|.由抛物线的定义知：点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾因此，不存在满足条件的实数a.22(12分)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上解：(1)因为a21a2,2c1，a21a2c2，则a2，1a2，所以椭圆E的方程为1.(2)证明：设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，Q(0，m)，则(xc，y)，(c，m)，(xc，y)，(c，m)由，得所以(xc)(xc)y2，即x2y2c2.由椭圆E的方程可知，c2a2(1a2)2a21，所以x2y22a21，即y2x22a21.将上式代入椭圆E的方程，得1，解得x2a4.因为点P是第一象限内的点，所以xa2，y1a2.故点P在定直线xy1上