1、单元素养评价(三)(第三、四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(ex+2x)dx=()A.1B.e-1C.eD.e+1【解析】选C.(ex+2x)dx=(ex+x2)=e+1-1=e.2.已知函数f(x)=(2x-x2)ex，则()A.f()是f(x)的极大值也是最大值B.f()是f(x)的极大值但不是最大值C.f(-)是f(x)的极小值也是最小值D.f(x)没有最大值也没有最小值【解析】选A.由题意得f(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex=(2-x2)ex，当-x0，函数f(x)是增加
2、的；当x时，f(x)0，在x=-处取得极小值f(-)=2(-1)0，又当x0时，f(x)=(2x-x2)ex0，所以f()是f(x)的极大值也是最大值.3.设f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，则导函数f(x)的图像可能是()【解析】选B.由f(x)的图像可知，当x0时，f(x)是减少的，f(x)0时，函数的单调性是先减后增再减.所以当x+时，f(x)1时，f(x)0，当0x0，所以f(x)有极大值-1.5.若S1=dx，S2=(ln x+1)dx，S3=xdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S1S3S2D.S3S10，函数为增加的；当x(-3，0)
3、时，f(x)0，函数为减少的；由f(-4)=14，f(-3)=25，f(0)=-2，f(2)=50，故函数f(x)=2x3+9x2-2在区间-4，2上的最大值和最小值分别为50，-2.7.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x)，满足f(x)2ex的解集为()A.(-，0)B.(-，2)C.(0，+)D.(2，+)【解析】选C.设g(x)=，则g(x)=.因为f(x)0，即函数g(x)在定义域内单调递增，因为f(0)=2，所以g(0)=f(0)=2，所以不等式f(x)2ex等价于g(x)g(0).因为函数g(x)在定义域内单调递增.所以x0，所以不等式的解集为(0，+)，所以选C.8.
4、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln C.4+25ln 5D.4+50ln 2【解析】选C.由v(t)=0得t=4，所以刹车距离s=v(t)dt=dt=4+25ln 5.9.已知y=f(x)是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4【解析】选B.由已知，曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-，所以f(3)=
5、-，因为g(x)=xf(x)，所以g(x)=f(x)+xf(x)，所以g(3)=f(3)+3f(3).又由图知f(3)=1，所以g(3)=1+3=0.10.若y=(sin t+cos tsin t)dt，则y的最大值是()A.1B.2C.-D.0【解析】选B.先将sin tcos t化简为sin 2t.y=dt=-cos x-cos 2x+=-cos 2x-cos x+=-(cos x+1)2+2.当cos x=-1时，ymax=2.11.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a，a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A.-5，0)B.(-5，0)C.-3，0)D.(-3，0)【解析】选
6、C.由题意，得f(x)=x2+2x=x(x+2)，故f(x)在(-，-2)，(0，+)上是增加的，在(-2，0)上是减少的，作出其图像如图所示，令x3+x2-=-得，x=0或x=-3，则结合图像可知，解得a-3，0).12.若函数y=f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3【解析】选A.设曲线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数几何意义可知，两条切线的斜率分别为k1=f(x1)，k2=f(x2).若函数具有T性质，则k1k2=f(x1)f(x
7、2)=-1.A项，f(x)=cos x，显然k1k2=cos x1cos x2=-1有无数组解，所以该函数具有T性质；B项，f(x)=(x0)，显然k1k2=-1无解，所以该函数不具有T性质；C项，f(x)=ex0，显然k1k2=-1无解，所以该函数不具有T性质；D项，f(x)=3x20，显然k1k2=33=-1无解，所以该函数不具有T性质.综上，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.计算(x3cos x)dx=_.【解析】因为y=x3cos x为奇函数，所以(x3cos x)dx=0.答案：014.f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，
8、则a的取值范围是_.【解析】由f(x)=3x2-30，解得单调递增区间为(-，-1)，(1，+)，由f(x)0，解得0x2，而g(x)的图像的对称轴为x=1，故g(x)在(0，1上单调递增，在(1，2)上单调递减，又0m=1在区间(1，+)内恒成立，则实数a的范围为_.【解析】由已知a在区间(1，+)内恒成立.设g(x)=，所以g(x)=-1)，所以g(x)=在区间(1，+)上是减少的，所以g(x)g(1).因为g(1)=1，所以0).(1)当a=1时，求f(x)的单调区间.(2)若f(x)在(0，1上的最大值为，求a的值.【解析】函数f(x)的定义域为(0，2)，f(x)=-+a.(1)当a
9、=1时，f(x)=，所以f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(，2).(2)当x(0，1时，f(x)=+a0，即f(x)在(0，1上是增加的，故f(x)在(0，1上的最大值为f(1)=a，因此a=.19.(12分)已知函数f(x)=e2x-1-2x.(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)证明：当xR时，f(x)0恒成立.【解析】(1)函数f(x)=e2x-1-2x，定义域为R，f(x)=e2x-1(2x-1)-2=2e2x-1-2.(2)由题意f(x)=2e2x-1-2，xR，x，f(x)，f(x)当xR时变化如表：xf(x)-0+f(x)减少极小值增加当x=时f(x)取得极小值也是最
10、小值，而f=0，故f(x)0恒成立.20.(12分)已知f(x)=xln x，g(x)=-x2+ax-3.(1)对一切x(0，+)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.(2)证明：对一切x(0，+)，都有ln x-恒成立.【解析】(1)由题意知2xln x-x2+ax-3对一切x(0，+)恒成立，则a2ln x+x+.设h(x)=2ln x+x+(x0)，则h(x)=，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)是增加的，所以h(x)min=h(1)=4，因为对一切x(0，+)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min=4，即实数a的取值范围为(-，4.(2)问题等价于证明xln x
11、-(x(0，+).又f(x)=xln x，f(x)=ln x+1，当x时，f(x)0，f(x)是增加的，所以f(x)min=f=-.设m(x)=-(x(0，+)，则m(x)=，易知m(x)max=m(1)=-，从而对一切x(0，+)，ln x-恒成立.21.(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式.(2)当m=640米时，需新建多
12、少个桥墩才能使y最小？【解题指南】适当选定变量，把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，利用导数求函数最值.【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=-1，所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256+(2+)x=+m+2m-256(0xm).(2)由(1)知，f(x)=-+m=(-512).令f(x)=0，得=512，所以x=64，当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0，64)上是减少的；当64x0，f(x)在区间(64，640)上是增加的.所以f(x)在x=64处取得最小值，此时n=-1=-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.22.(12分)已知函数f
13、(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数，aR).(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证：当aln，且x0时，x+-3a.【解析】(1)由f(x)=ex-3x+3a知，f(x)=ex-3.令f(x)=0，得x=ln 3，于是根据x值列表分析f(x)的符号和函数f(x)的单调性和极值点：x(-，ln 3)ln 3(ln 3，+)f(x)-0+f(x)极小值所以f(x)的递减区间是(-，ln 3)，递增区间是(ln 3，+)，f(x)在x=ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)=eln 3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).f(x)无极大值.(2)待证不等式等价于ex-x2+3ax-10，设g(x)=ex-x2+3ax-1，x0，则g(x)=ex-3x+3a，x0.由(1)及aln=ln 3-1知，g(x)的最小值为g(ln 3)=3(1-ln 3+a)0.所以g(x)在(0，+)上为增函数，因为g(0)=0，所以当x0时，g(x)0，即ex-x2+3ax-10，即x+-3a.