1、课时作业18抛物线的简单几何性质时间：45分钟基础巩固类一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是(C)Ay211x By211xCy222x Dy222x解析：在方程2x4y110中，令y0得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x，故选C.2边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(C)Ay2x By2xCy2x Dy2x解析：设抛物线方程为y2ax(a0)又A(，)(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选C.3过点(2,4)作直线l，与抛物线y2
2、8x只有一个公共点，这样的直线l有(B)A1条 B2条C3条 D4条解析：由题意可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行4与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为(D)A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析：设切线方程为2xym0，联立，得x22xm0.由44m0，得m1，所以切线方程为2xy10.故选D.5若P(x0，y0)是抛物线y232x上一点，点F为抛物线的焦点，则|PF|(C)Ax08 Bx08C8x0 Dx016解析：由题意可知抛物线开口向左，且p16，因此抛
3、物线的准线方程为x8，因此|PF|8x0.6过抛物线x24y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|的值为(C)A5 B6C8 D10解析：抛物线x24y的准线为y1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y11，y21，所以|P1P2|的值为y1y228.7过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为(B)A2 B2C2 D2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1
4、)，即y2x2.由得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.8过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(A)A. B.C. D.解析：记抛物线y22px(p0)的准线为l，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cosABB1，所以cos60，由此得.二、填空题9过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p2.解析：直线yx，故，x23px0，|AB|8x1x2p，4p8，p2.10已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与
5、抛物线C交于A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为y24x.解析：设抛物线方程为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得x2kx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2k.又P(2,2)为AB的中点，2.k4.y24x.11设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|8.解析：设准线交x轴于点B，O为坐标原点，依题意kAF，则AFO60.又|BF|4，所以|AB|4，则点P的纵坐标为4，所以(4)28xp，得xp6，即点P的横坐标为6，所以|PF|PA|8.三、解答题12已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴
6、的抛物线截直线yx所得的弦长|P1P2|4，求此抛物线的方程解：设抛物线方程为y22px(p0)，把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2(32p)x0，判别式(32p)294p212p0，解得p0或p0)中，得y22x.综上，所求抛物线方程为y22x.13已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当
7、直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22 .由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.能力提升类14已知抛物线y22px(p0)，ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3.若直线AB，BC，AC的斜率之和为1，则
8、的值为(B)A BC. D.解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，则，将三个式子两两相减，得，即，即，所以(kABkBCkAC).故选B.15如图所示，斜率为1的直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线上A，B间的动点(1)若|AB|8，求抛物线的方程；(2)求ABM面积S的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由已知条件知l：yx，与y22px联立，消去y，得x23pxp20.则x1x23p.由抛物线的定义，得|AB|x1x2p4p.又|AB|8，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)方法一：由(1)知|AB|4p，且l：yx.设M(，y0)，则点M到直线l的距离d.因为点M在直线AB的左上方，所以y00，则d.当y0p时，dmaxp.故S的最大值为4ppp2.方法二：由(1)知|AB|4p，且l：yx.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yxm，代入抛物线方程，得x22(mp)xm20.由4(mp)24m20，得m.所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx，两平行直线间的距离为p，故S的最大值为4ppp2.