1、台州市联谊五校2018学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则集合 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合交集运算，根据集合A与集合B，即可求得【详解】集合所以根据集合交集运算可得所以选C【点睛】本题考查了集合交集的运算，属于基础题。2.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）A. B. C. D. 12【答案】A【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，然后求对应三角形的面积。【详解】如图：作出可行域：则不等式组表示的平面区域面积为故选：A【点睛
2、】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组。3.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】、表示两个不同的平面，直线m，m，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交， 不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m，满足必要性，“m”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断和
3、线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题4.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出曲线在处的导数值，即为切线斜率，进而由点斜式即可得解.【详解】对求导得：，时在点处的切线斜率为3. 切线方程为，整理得：.故选D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.5.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，再用平方关系算得，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍，得，又a2b2+c2，2b
4、2b2+c2，可得，因此椭圆的离心率为e故选：C【点睛】本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题6.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题7.已知中，且，则（ ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直
5、角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由tanA+tanBtanAtanB，推导出C60，由，推导出A60或90，从而得到ABC形状【详解】tanA+tanBtanAtanB，即tanA+tanB（1tanAtanB），tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，A+B120，即C60，,2B60或120，则A=90或60.由题意知ABC等边三角形故选：A【点睛】本题考查三角形形状判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用8.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出当，此时圆心到该直线
6、的距离，建立不等式，计算m的范围，即可。【详解】当，此时圆心到MN的距离要使得，则要求，故，解得，故选A。【点睛】考查了点到直线距离公式，关键知道的意义，难度中等。9.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题转化为（x+）minm2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案【详解】不等式x+ m2+3m有解，（x+）minm23m，x0，y0，且，x+（x+）（）4，当且仅当，即x2，y8时取“”，（x+）min4，故m2+3m4，即（m-1）（
7、m+4）0，解得m4或m1，实数m的取值范围是（，4）（1，+）故选：C【点睛】本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解10.如图所示，垂直于圆所在的平面， 是圆的直径，是圆上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意首先得到体积表达式，然后结合解析式确定函数取得最值时的条件，最后求得最值
8、即可.详解：设，由题意可知，设与底面所成的角为，则由圆的性质可知：，由线面垂直的定义可知：，结合线面垂直的判断定理可得：平面，则，结合可知平面，据此有，则，由平面可知，结合可得平面，则.在中，利用面积相等可得：，在中，则，结合均值不等式的结论可知，当，即时三棱锥的体积最大，此时.本题选择D选项.点睛：本题主要考查线面垂直的定义与判断定理，均值不等式的应用，立体几何中的最值问题，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11.函数的定义域为_；值域为_【答案】 (1). . (2).
9、 .【解析】【分析】根据根式及分式的要求即可求得定义域；由函数解析式即可求得值域。【详解】函数所以定义域为 ，即 所以定义域为因为 所以，即值域为【点睛】本题考查了二次根式及分式的定义域和值域问题，属于基础题。12.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_；若直线 与直线垂直，则实数_【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】根据斜率与倾斜角关系可求得m的值；根据直线垂直的斜率关系可求得m的值。【详解】因为倾斜角为即 所以，解得 若直线 与直线垂直，则两条直线的斜率之积为 即 ，解得【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角关系，两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题。13.（1） _；（2） _【
10、答案】 (1). 2. (2). 10.【解析】【分析】根据对数运算法则，化简（1）；根据指数与对数的运算法则，化简（2）即可。【详解】（1）根据对数运算法则，可得（2）根据指数幂的运算和对数运算法则和换底公式，可得【点睛】本题考查了指数与对数的运算法则和化简求值，属于基础题。14.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）等于_；表面积（单位：）等于_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与表面积.【详解】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥（顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面），因此几何体的体积为，表面积为【
11、点睛】本题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与基本求解能力，属基础题.15.已知平面向量满足，且，则_【答案】【解析】【分析】由已知可求，然后结合向量的数量积的性质|，代入即可求解【详解】，则，故答案为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题16.如图，平面四边形中，则的面积为_【答案】【解析】分析：首先求得BD的长度，然后结合余弦定理求得ADB的值，最后利用面积公式求解ACD的面积即可.详解：在BCD中，由，可得CDB=30，据此可知：，由余弦定理可得：，在ABD中，由余弦定理可得：，故，结合三角形面积公式有：. 点睛：本题主要考查余弦定理解三角形
12、，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.当时，不等式恒成立，则最大值是_【答案】6【解析】时，不等式恒成立，即设，的最大值为故答案为6三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 由题得cos= ，sin= ，代入已知即得解.(2),所以所以，求出sin和cos的值即得解.【详解】（1）由题得cos= ，sin= ，所以 . (2),所以，所以所以3sin-4cos=.【点睛】
13、本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知正项等比数列中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式及等差中项定义，求得首项与公比，即可求得数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，代入可得数列的通项公式，进而根据裂项法求得前n项和。【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为成等差数列，所以，得，又，则，即，化简整理得显然，所以，解得故数列的通项公式 （2）由（1）知，所以 则 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列通项公式的应用，裂项求和法的应用
14、，属于基础题。20.已知函数（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围【答案】（1），极小值0（2）【解析】【分析】求出函数的导数，得到导数在时为零然后列表讨论函数在区间和上讨论函数的单调性，即可得到函数的单调区间和极值；在上是单调函数，说明的导数在区间恒大于等于0，或在区间恒小于等于然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围【详解】易知，函数的定义域为当时，当x变化时，和的值的变化情况如下表：x10递减极小值递增由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是由，得又函数为上单调函数，若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成
15、立也即在上恒成立，而在上的最大值为，所以若函数为上的单调减函数，根据，在上，没有最小值所以在上是不可能恒成立的综上，a的取值范围为【点睛】本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题21.已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解【详解】由题
16、知，则设准线与x轴交于点D，则又是边长为8的等边三角形，即抛物线C的方程为；设过点的直线n的方程为，联立，得设，则，由，得，解得不妨取，则直线方程为而F到直线的距离的面积为【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等22.已知函数（1）若，是否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；（2）若，判断在上的单调性，
17、并用定义证明；（3）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）将代入证明为偶函数即可。（2）代入，先判断函数为单调递减函数，再根据定义法代入作差即可证明为单调递减函数。（3）去绝对值化简不等式，根据全称命题与特称命题的成立关系可得，分两段不等式求解即可。【详解】（1）存在使为偶函数， 此时：，证明：的定义域为关于原点对称，且为偶函数。（2），且，在上为减函数证明：任取，且， ，即在上为减函数 （3）,对任意，存在，使得成立，即存在，使得， 当时，为增函数或常函数，此时，则有恒成立当时， 当时， 综上所述：. 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合英语，恒成立与存在性成立问题的综合应用，讨论过程复杂，需要很强的数学思维能力，属于难题。