1、沧州市20212022学年第一学期期末教学质量监测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，由得：，则斜率，.故选：A.2. 如图，在正方体中，若为的中点，在上，且，则等于（）AB. C. D. 【2题答案】【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.【详解】.故选：B.3. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C.
2、D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【详解】设等差数列公差为，由得：；又，.故选：B.4. 已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为：，抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：D.5. 在数列中，则（）A. 985B. 1035C. 2020D. 2070【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据累加法得，进而得.【详解】解：因为所以，当时，所以，将以上式子相加得，所以，.当时，满足；所以，.所以.故选：A6
3、. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D. 6【6题答案】【答案】C【解析】【分析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，方向向量，则点到直线的距离为.故选：C.7. 已知点为直线上任意一点，为坐标原点则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.8. 如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面
4、宽米，若水面下降6米，则水面宽()A. 米B. 米C. 米D. 米【8题答案】【答案】B【解析】【分析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，设双曲线标准方程为：(a0)，则顶点，将A点代入双曲线方程得，当水面下降6米后，代入双曲线方程得，水面宽：米.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知椭圆：，则下列关于椭圆的结论正确的是（）A. 焦
5、点坐标为，B. 长轴长为C. 离心率为D. 直线与无交点【9题答案】【答案】BC【解析】【分析】由椭圆方程可求得，依次判断焦点、长轴长和离心率可知ABC正误；根据直线与椭圆位置关系的判断方法可知D错误.【详解】由椭圆方程知：椭圆焦点在轴上，；对于A，焦点坐标为，A错误；对于B，长轴长，B正确；对于C，离心率，C正确；对于D，由得：，则，直线与交于两点，D错误.故选：BC.10. 已知圆：，直线：圆上恰有个点到直线的距离为，则的值为（）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】BC【解析】【分析】由圆上恰有个点到直线的距离为可确定圆心到直线距离为，由此构造方程求得结果.【详解】由圆的方程知：
6、圆心，半径；圆上恰有个点到直线的距离为，圆心到直线的距离，即，解得：或.故选：BC.11. 已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（）A. 2B. 6C. 9D. 12【11题答案】【答案】BC【解析】【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案【详解】由双曲线的方程可得，焦点为，圆：的圆心为，半径为2，圆：的圆心为，半径为1，所以，所以,，所以，故选：BC12. 如图，在正四棱柱中，点在上，且则下列说法正确的是（）A. B. 异面直线与所成角的正切值为C.
7、 平面D. 直线与平面所成角的正弦值为【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面垂直的向量判断方法，线线角和线面角的向量求法依次判断各个选项即可.【详解】以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，对于A，A正确；对于B，设异面直线与所成角为，B错误；对于C，又，平面，平面，C正确；对于D，设平面的法向量，令，则，又，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用空间向量法求解直线与平面所成角的基本步骤为：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）求得平面的法向量，设所求角为，则.（3
8、）根据可求得线面所成角的大小.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13. 已知向量与是平面的两个法向量，则_【13题答案】【答案】【解析】【分析】由且为非零向量可直接构造方程求得，进而得到结果.【详解】由题意知：，解得：（舍）或，.故答案为：.14. 已知直线与之间的距离为，则_【14题答案】【答案】或#或【解析】【分析】利用平行直线间距离公式构造方程求解即可.【详解】方程可化为：，由平行直线间距离公式得：，解得：或.故答案为：或.15. 已知，为抛物线：上的点，为抛物线的焦点在等比数列中，则的横坐标为_【15题答案】【答案】【解析】【分析】利用
9、在抛物线上可求得，结合等比数列的公比可求得，利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.【详解】在抛物线上，解得：，抛物线；数列为等比数列，又，公比，即，解得：，即的横坐标为.故答案为：.16. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则_，的最小值为_【16题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】首先确定的正负，分别在和两种情况下求得，代入即可求得；由可求得，分别在和两种情况下结合一次函数和对勾函数单调性得到最小值，综合可得最终结果.【详解】令，解得：，则当时，；当时，；当时，；当时，；，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，当时，；综上所述：.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查含
10、绝对值的数列前项和的求解问题，解题关键是能够确定数列的变号项，从而以变号项为分类基准进行分类讨论得到数列的前项和；求解数列中的最值问题的关键是能够利用数列与函数的关系，结合函数单调性和来进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知直线过点（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程【1718题答案】【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的斜截式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计
11、算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是综上，所求直线的方程为或18. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长【1819题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式
12、可求得结果.小问1详解】由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；【小问2详解】由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.19. 如图1，在中，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出长；若不存在，请说明理由【1920题答案】【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后
13、求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果【小问1详解】在中，因为，分别是，边上的中点，所以，所以，所以，因为，所以平面，所以平面，因为平面，所以，所以，因为平面，平面，所以平面平面，因为，所以，因为，所以等边三角形，取的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，在中，所以边上的高为，所以，在梯形中，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，得，所以点到平面的距离为【小问2详解】由（1）可知平面，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,设，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，则平面与平面夹角的余弦值为，两边平方得，解得或（舍去），所
14、以，所以20已知圆：，直线：圆与圆关于直线对称（1）求圆的方程；（2）点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、求四边形面积的取值范围【2021题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.【小问1详解】由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到，根据斜率相乘为-1得到，联立可得，所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为【小问2详解】连接
15、，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，在中，根据勾股定理可知，因为为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；设点P的坐标为，所以有，解得，所以，所以，所以；，所以.所以21. 已知数列的通项公式为：，其中记为数列的前项和（1）求，；（2）数列的通项公式为，求的前项和【2122题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）验证可知数列是以为周期的周期数列，则，；（2）由（1）可求得，利用错位相减法可求得结果.【小问1详解】当时，；当时，；当时，；数列是以为周期的周期数列；，；【小问2
16、详解】由（1）得：，两式作差得：.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足，且的面积为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线设直线交轴于，交轴于，且点，求的轨迹方程【2223题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得，由椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；（2）将与椭圆方程联立可得，得，结合韦达定理可确定点坐标，由此可得方程，进而得到，化简整理即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】由焦点坐标可知：；，即，解得：，解得：（舍）或，椭圆的方程为：；【小问2详解】由得：，整理可得：；，解得：，则，令，解得：；令，解得：；，即，又，则的轨迹方程为：.【点睛】思路点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题基本思路是能够利用变量表示出所求点的坐标，根据坐标之间关系，化简整理消掉变量得到所求轨迹方程；易错点是忽略题目中的限制条件，轨迹中出现多余的点.