1、2.2 抛物线的简单性质A组基础巩固1若抛物线y22px(p0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和p的值分别为()A9,2B1,18C9,2或1,18 D9,18或1,2解析：因为点M到对称轴的距离为6，所以不妨设M(x0,6)因为点M到准线的距离为10，所以，解得或，故选C.答案：C2O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上的一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.答案：C3过点M(2,4
2、)作直线l与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线的条数是()A1 B2C3 D0解析：点M(2,4)是抛物线上的点，所以直线l有两条，一条是切线，另一条是平行于抛物线的对称轴的直线答案：B4已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.答案：C5连接抛物线x24y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为()A1 B.C1 D.解析：由题意得F的坐标为(0,1)又M(1,0)，故线段MF的方
3、程为xy1(0x1)解得交点A的坐标为(22，32)S1(32).答案：B6顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是_解析：设抛物线的方程为y22ax，则F.|y|a|.由于通径长为6，即2|a|6，a3.抛物线方程为y26x.答案：y26x7过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.解析：F(，0)，设AB：yx，与y22px联立，得x23px0.xAxB3p.由焦半径公式xAxBp4p8，得p2.答案：28已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若，则
4、p_.解析：如图，由AB的斜率为，知BMx60，又，M为AB的中点过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30.|BP|AB|BM|.M为焦点，即1，p2.答案：29过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若(1)，求的值解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(x1，y1)(x2，y2)，故y1y2，联立直线与抛物线方程，消元得：y2pyp20，y1y2p，y1y2p2，因此2，即2，4(1)10已知直线l：yk(x1)与抛物线y2x交于A，B两点，O为坐标原点(1)若OAB的面积为，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点解析：
5、(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得k2x2(2k21)xk20，由根与系数的关系得，x1x2，x1x21.由弦长公式，得|AB|x1x2|，由点到直线的距离公式得d，SOAB|AB|d ，解得k.(2)证明：由(1)可得kOA，kOB，kOAkOB.yx1，yx2，x1x2(y1y2)2，kOAkOB，又，得ky2yk0，y1y21，即kOAkOB1，OAOB，以弦AB为直径的圆必过原点B组能力提升1如图，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线C：y24x交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是点M，N，若|AM|2|
6、BN|，则实数k的值是()A. B.C. D2解析：设B(x1，y1)，则由|AM|2|BN|，得A(2x11,2y1)由，解得或(不合题意，舍去)，所以B.又直线yk(x1)过定点(1,0)，所以k.故选C.答案：C2设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8C8 D16解析：由抛物线的定义得，|PF|PA|，又由直线AF的斜率为，可知PAF60.PAF是等边三角形，|PF|AF|8.答案：B3平面上一机器人在进行中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的
7、直线，则k的取值范围是_解析：由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线，其方程为y24x.设过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k41.k1或k0)上一点，焦点为F，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且FBC为正三角形，若ABC的面积为，则抛物线的方程为_解析：如图所示，由题意可得cos 30，|DF|p，|BF|，|AF|，由抛物线的定义，知点A到准线的距离也为.ABC的面积为，p8，抛物线的标准方程为y216x.5已知P是抛物线y24x上任意一点，点A
8、(a,0)，试求当|PA|最小时P点的坐标解析：设P(x，y)，则|PA|.x0，aR，需分类讨论如下：(1)当a20即a2时，则x0，|PA|取得最小值为|a|，此时P(0,0)(2)当a20即a2时，则xa2，|PA|取得最小值为2，此时P(a2，2)综上所述，|PA|最小时，P点的坐标为：a2时，P(0,0)；a2时，P(a2，2)6已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由，得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.由直线OA与l的距离d可得，解得t1.因为1，)，故舍去，所以t1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.