1、奇偶性的概念A级基础巩固1已知一个奇函数的定义域为1，2，a，b，则ab等于()A1B1C0 D2解析：选A因为该奇函数的定义域为1，2，a，b，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于2，所以ab1(2)1，故选A.2下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()解析：选B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B.3若函数f(x)(f(x)0)为奇函数，则必有()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)解析：选Bf(x)为奇
2、函数，f(x)f(x)又f(x)0，f(x)f(x)f(x)20.4若函数f(x)则f(x)()A是偶函数B是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析：选B作出函数f(x)的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故f(x)为奇函数5若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数解析：选A因为f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，所以由f(x)f(x)，得b0.所以g(x)ax3cx.所以g(x)a(x)3c(x)g(x)，所以g(x)为奇函数6若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a_解析：函数
3、y(x1)(xa)x2(a1)xa为偶函数，x2(a1)xax2(a1)xa恒成立，a10，a1.答案：17(2021北京通州高一月考)能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)_解析：举出x0不在定义域内的奇函数即可，如f(x).答案：(答案不唯一)8设奇函数f(x)的定义域为6，6，当x0，6时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)0的解集用区间表示为_解析：由f(x)在0，6上的图象知，满足f(x)0的不等式的解集为(0，3)又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在6，0)上，不等式f(x)0的解集为(6，3)综上可知，不等式f(x)0)(1
4、)若f(1)3，求a的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明解：(1)由题意知，f(1)1a3，所以a20满足题意(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：函数f(x)x(a0)的定义域为(，0)(0，)且关于原点对称又因为f(x)xf(x)，所以函数f(x)为奇函数10(1)如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小解：(1)奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(3)2.(2)偶函数yf
5、(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(1)f(3)B级综合运用11(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)2f(x)Cf(x)f(x)0 D.1解析：选ABf(x)在R上为奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)f(x)0，故A正确；f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)，故B正确；当x0时，f(x)f(x)0，故C不正确；当x0时，的分母为0，无意义，故D不正确12已知函数f(x)mx2nx2mn是偶函数，其定义域为m1，2n2，则()Am0，n0 B
6、m3，n0Cm1，n0 Dm3，n0解析：选B由f(x)mx2nx2mn是偶函数，得n0.又函数的定义域为m1，2n2，所以m12n2，则m3.13函数f(x)的定义域为_，是_函数(填“奇”或“偶”)解析：依题意有解得2x2且x0，f(x)的定义域为2，0)(0，2f(x)，定义域关于原点对称，f(x)f(x)，f(x)为奇函数答案：2，0)(0，2奇14函数f(x)是定义在(2，2)上的奇函数，且f(1).(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性解：(1)根据题意，得函数f(x)是定义在(2，2)上的奇函数，则f(0)0，解得b0.又由f(1)，得f(1)，解得a1.所以
7、f(x).(2)f(x)在区间(2，2)上为增函数证明如下：设2x1x22，则f(x1)f(x2).由2x1x20，x1x20，4x0，所以f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)在(2，2)上为增函数C级拓展探究15设函数f(x)x22|xa|3，xR.(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f(x)是偶函数，求a的值；(3)在(2)的情况下，画出yf(x)的图象并指出其单调递增区间解：(1)我同意王鹏同学的观点理由如下：假设f(x)是奇函数，则由f(a)a23，f(a)a24|a|3，可得f(a)f(a)0，即a22|a|30，显然a22|a|30无解，f(x)不可能是奇函数(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)f(a)，即a23a24|a|3，解得a0.经验证，此时f(x)x22|x|3是偶函数(3)由(2)知f(x)x22|x|3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(1，0)和(1，)5
