1、第4课时等比数列的综合应用知能目标解读1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n项和公式.2.掌握数列求和的常用方法错位相减法.重点难点点拨重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点：错位相减法求和的应用.学习方法指导如果数列an是等差数列，公差为d;数列bn是等比数列，公比为q,求数列anbn的前n项和，可以运用错位相减法.方法如下：设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,当q=1时，bn是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+an)= ;当q1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=
2、(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理1.在等比数列的前n项和公式Sn=中，如果令A=，那么Sn=.2.若Sn表示数列an的前n项和，且Sn=Aqn-A(A0， q0且q1)，则数列an是.3.在等比数列an中，Sn为其前n项和.(1)当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k (kN+);(2)当q-1或k为奇数时，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k (kN+).答案1. Aqn-A2.等比数列3.不是等比数列是等比数列思路方法技巧命题方向等比数列性质的应
3、用例1(1)等比数列an，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.分析由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.解析(1)a1a18=a9a10,a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七项之积为(32) 33=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5=54=-1458.解法二：a5是a2与a8的等比中项，542=a
4、8(-2).a8=-1458.说明本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,lN+且m+n=k+l，则aman=akal.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用1已知an是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.解析a4a7=a1a10,a4a7=243, a4=81 a4=3又a4+a7=84, ，或a7=3 a7=81q=或q=3.a11=3q4=3（）4=或a11=8134=6561.命题方向与前n项和有关的等比数列的性质问题例2各项都是正实数的等比数列an，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（）A.15
5、0B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.解析解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q1. =10由 ，=70由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入有=-10，S40=-10(-15)=150.解法二：易知q1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解
6、得q10=2或q10=-3（舍去），S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).S40=S30+q30S10=70+810=150.解法四：易知q1,=，q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.说明在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当q-1时，数列Sm，S2m
7、-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当q1时，=.变式应用2等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于.答案30解析an为等比数列，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，（S10-S5）2=S5（S15-S10），即100=10（S15-20），解得S15=30.探索延拓创新命题方向错位相减法求数列的和例3求数列1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n项和（a0）.分析由题设可知数列的通项公式为an=(2n-1)an-1,数列的每一项可分成两个因式，前
8、一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和.解析当a=1时，Sn=1+3+5+(2n-1)= =n2.当a1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1,aSn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an ,-得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,Sn=+.说明一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d;数列bn是等比数列，公比为q,则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法.变式应用3求数列n2n的前n项和Sn.解析Sn=121+222+323+n2n2Sn=122+223+（n-1
9、）2n+n2n+1 -得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,Sn=(n-1)2n+1+2.名师辨误做答例4若数列an的前n项和为Sn=an-1（a0），则数列an是（）A.等比数列B.等差数列C.可能是等比数列，也可能是等差数列D.可能是等比数列，但不可能是等差数列误解A由Sn=an-1，得an=(a-1)an-1，则有=a-1(常数)，故选A.辨析错误的原因在于：当a=1时，an=0，an是等差数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中an0而造成的.正解C由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.当a=1时，an=0,数列an为等差数列；
10、当a1时，=a-1,(不为零的常数)，则数列an为等比数列，故选C.课堂巩固训练一、选择题1.（2011辽宁文，5）若等比数列an满足anan+116n，则公比为（）A.2B.4C.8D.16答案B解析本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力.anan+1=16n,an-1an=16n-1=q2=16q=4.2.在各项为正数的等比数列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A.1061B.1023C.1024D.268答案B解析由题意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.3
11、.在等比数列an中，a1=1,公比|q|1,若am=a1a2a3a4a5，则m=（）A.9B.10C.11D.12答案C解析a1=1,am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又am=a1qm-1=qm-1,qm-1=q10,m-1=10,m=11.二、填空题4.若等比数列an的前n项和Sn=2n+1+r,则r的值为.答案-2解析解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又an为等比数列，a22=a1a3,16=8(4+r),r=-2.解法二：Sn=2n+1+r=22n+r,数列an为等比数列，Sn=Aqn-A=22n+r
12、,r=-2.5.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为.答案-2解析Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，2Sn=Sn+1+Sn+2(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2,q=-2.三、解答题6.（2011重庆文，16）设an是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通项公式;(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn.分析（1）问设出公比q，由已知建立有关q的方程，求出公比q，写出通项公式.（2）甲分组求和，先求an的和
13、，再求bn的和，然后相加得Sn.解析（1）设等比数列an的公比为q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，q=2an=a1qn-1=22n-1=2n（2）数列bn=1+2(n-1)=2n-1Sn=+n1+2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.点评此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.课后强化作业一、选择题1.已知等比数列an中，an=23n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为（）A.3n-1B.3(3n-1)C. (9n-1)D. (9n-1)答
14、案D解析a2=6,q=9,Sn= (9n-1).2.(2010辽宁文)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=（）A.3B.4C.5D.6答案B解析3S3=a4-2,3S2=a3-2,3S3-3S2=a4-a3,3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=4.3.等比数列an的前n项和Sn=2n-1+a,则a的值为（）A.- B.- C. D. 答案B解析Sn=2n-1+a=2n+a,又Sn=Aqn-A,a=-.4.等比数列an的公比为，且S3=1,则S6等于（）A. B. C. D. 答案B解析q=,S3=2a1（1-）=a1=1,a1=.S6=（1
15、-）=.5.数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，1+2+22+2n-1的前n项和Sn1020,那么n的最小值是（）A.7B.8C.9D.10答案D解析因为1+2+22+2n-1=2n-1,所以Sn=21-1+22-1+2n-1=2n+1-n-21020,所以n的最小值为10.6.已知等比数列an中，公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,则a1+a2+a3+a100=（）A.100B.90C.120D.30答案B解析a2+a4+a6+a100=a1q+a3qa5q+a99q=q(a1+a3+a5+a99)=6030a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a5+a99)+(a
16、2+a4+a6+a100)=60+30=90.7.已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c（）A.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.既成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列答案A解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a2c=36=(2b) 2,a+c=2b,故选A.8.（2011四川文，9）数列an的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=（）A.344B.344+1C.45D.45+1答案A解析该题考查已知一个数列的前n项
17、和Sn与an+1的关系，求通项公式an.注意的问题是用an=Sn-Sn-1时(n2)的条件.an+1=3Snan=3Sn-1-得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即an+1=4an=4.(n2)当n=2时，a2=3a1=3,=3=4an为从第2项起的等比数列，且公比q=4,a6=a2q4=344.二、填空题9.等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+m,则a1=.答案6解析a1=S1=9+m,a2=S2-S1=27+m-9-m=18,a3=S3-S2=81+m-27-m=54,又an为等比数列，a22=a1a3,182=54(9+m)，解得m=-3.a1=9+m=6.10.实数，1，成
18、等差数列，实数a2,1,c2成等比数列，则=.答案1或- +=2 ac=1 ac=-1解析由条件 ，得 或 ，a2c2=1 a+c=2 a+c=-2=1或-.11.已知an是公比为q(q1)的等比数列，an0,m=a5+a6,k=a4+a7,则m与k的大小关系是.答案mk解析m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)=(q-1)a4(1-q2)=-a4(1+q)(1-q) 20).mk.12.设数列an的前n项和为Sn(nN+)，关于数列an有下列三个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则an=an+1 (
19、nN+);若Sn=an2+bn(a、bR)，则an是等差数列；若Sn=1-(-1) n，则an是等比数列.这些命题中，正确命题的序号是.答案解析对于命题，易知它是各项不为零的常数数列，有an=an+1.对于命题，由Sn=an2+bn(a、bR)得an=b+a+(n-1)2a，当n=1时，也适合上式.an为等差数列.对于命题，由Sn=1- (-1) n得an=2(-1) n-1，当n=1时也适合上式.故an为等比数列.三、解答题13.(2011新课标文，17)已知等比数列an中，a1=，公比q=.(1)Sn为an的前n项和，证明：Sn=；(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an，求
20、数列bn的通项公式.分析第一问先利用等比数列定义及前n项和公式求出an，Sn,再证明Sn=,第二问将问题转化为等差数列求和.解析(1)因为an=（）n-1=,Sn=，所以Sn=.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-.所以bn的通项公式为bn=-.点评本题考查了数列的通项，前n项和等基础知识，体现了转化与化归的数学思想.14.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(nN*)(1)求证bn是等比数列；(2)求an的通项公式.解析(1)an+1=2an+1an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bnb1=a1+1=20.bn0,=2，
21、bn是等比数列.(2)由(1)知bn是首项b1=2公比为2的等比数列，bn=22n-1=2n，即an+1=2n.an=2n-1.15.一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.解析设等比数列的公比为q,项数为2n（nN+）,由已知得q1,a1=1,a2=q. =85=170得q=2.=85,4n=256,n=4.故数列的公比为2,项数为8.16.求和Sn=12+422+723+(3n-2)2n.解析Sn=12+422+723+3(n-1)-22n-1+(3n-2)2n2Sn=122+423+3(n-1)-22n+(3n-2)2n+1-得，-Sn=12+322+323+32n-(3n-2)2n+1=3(2+22+2n)-(3n-2)2n+1-4=3(2n+1-2)-(3n-2)2n+1-4=32n+1-6-3n2n+1+2n+2-4=2n+2+3(1-n)2n+1-10.Sn=3(n-1)2n+1-2n+2+10（3n-5）2n+1+10.