1、51平行关系的判定填一填直线与平面、平面与平面平行的判定定理文字语言符号语言图形语言直线与平面平行若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行l平面与平面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行判一判1.平面内有无数条直线与平面平行，则.()2若直线l上有无数个点都在平面外，则直线l.()3过平面外一点P只能作一条直线与平面平行()4若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()5如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()6若一条直线与一个平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行()7若平面内有无数条直线都与平面平行，则平
2、面与平面平行()8若平面内的任意一条直线都与平面平行，则平面与平面平行()想一想1.若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？提示：不一定要强调直线在平面外2如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？提示：平行或直线在平面内3判定或证明线面平行的两种方法是什么？提示：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)(2)判定定理法(a，b，aba)4判定面面平行的4种方法分别是什么？提示：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行
3、，则；(4)利用平行平面的传递性：若，则.思考感悟：练一练1.直线l上有两点到平面的距离相等，则()AlBlCl与相交 D以上都有可能答案：D2已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是()A平面内有一条直线与平面平行B平面内有两条直线与平面平行C平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D平面与平面不相交答案：D3下列结论正确的是()A过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个B过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条C过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行答案：C4如果直线a平面，那么直线a与平面内的()A一条直线不相交
4、B两条直线不相交C无数条直线不相交D任意一条直线都不相交答案：D5过三棱柱ABCA1B1C1的棱A1C1，B1C1，BC，AC的中点E，F，G，H的平面与面_平行答案：A1B1BA知识点一直线与平面平行的判定问题1.如图，已知P是ABCD所在平面外一点，M为PB的中点求证：PD平面MAC.证明：如图，连接BD与AC相交于点O，连接MO，O为BD的中点，又M为PB的中点，MOPD.又MO平面MAC，PD平面MAC，PD平面MAC.2.如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥PABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN平面PAD.证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，因为N是PC的中点，所以N
5、ECD，NECD.又因为在矩形ABCD中，M是AB的中点，所以AMCD且AMCD.所以NEAM，NEAM.所以四边形AMNE是平行四边形所以MNAE.又因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.知识点二平面与平面平行的判定问题3.已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM:MABN:NDPQ:QD，求证：平面MNQ平面PBC.证明：因为PM:MABN:NDPQ:QD，所以MQAD，NQBP，而BP平面PBC，NQ平面PBC，所以NQ平面PBC，又因为四边形ABCD为平行四边形，BCAD，所以MQBC.而BC平面PBC，MQ平面PB
6、C，所以MQ平面PBC.又MQNQQ，所以平面MNQ平面PBC.4.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点求证：平面AFH平面PCE.证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FHPC，所以FH平面PCE.又AECF且AECF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AFCE，所以AF平面PCE.由FH平面AFH，AF平面AFH，FHAFF，所以平面AFH平面PCE.综合知识平行关系的判定5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BD
7、D1B1.证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.所以直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B1.6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解析：当Q为CC1的中点时，平面D
8、1BQ平面PAO.因为Q为CC1的中点，P为D1D的中点，所以PQDC，又DCAB，所以PQAB且PQAB，所以四边形ABQP为平行四边形，所以QBPA.又PA平面PAO，QB平面PAO，所以BQ平面PAO.连接BD，则OBD，又O为DB的中点，P为D1D的中点，所以POD1B.PO平面PAO，D1B 平面PAO，所以D1B平面PAO.又D1BBQB，所以平面D1BQ平面PAO.基础达标一、选择题1有以下三种说法，其中正确的是()若直线a与平面相交，则内不存在与a平行的直线若直线b平面，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与平行直线a，b满足a，且b，则a平行于经过b的任何平面A BC D解析：
9、正确错误，反例如图(1)所示错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内故选D.答案：D2已知两个不重合的平面，给定以下条件：内不共线的三点到的距离相等l，m是内的两条直线，且l，ml，m是两条异面直线，且l，l，m，m.其中可以判定的是()A BC D解析：中，若三点在平面的两侧，则与相交，故不正确中，与也可能相交中，若把两异面直线l，m平移到一个平面内，即为两相交直线，由判定定理知正确答案：D3设b是一条直线，是一个平面，则由下列条件不能得出b的是()Ab与内一条直线平行Bb与内所有直线都没有公共点Cb与无公共点Db不在内，且与 内的一条直线平行解析：根据线面平行的定义可知，当b与内所
10、有直线没有公共点，或b与平面无公共点时，b，故B，C可推出b；由线面平行的判定定理可知，D项可推出b；只有A，当b与内的一条直线平行时，b可能在内，也可能在外，故不能推出b.答案：A4正方体ABCDA1B1C1D1中，E在B1D1上，F在A1B1上，且，过E作EHB1B交BD于H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是()A平行 B相交C垂直 D以上都有可能解析：因为，所以EFA1D1，所以EFB1C1，又EF平面BB1C1C，B1C1平面BB1C1C，所以EF平面BB1C1C，又EHB1B，EH平面BB1C1C，B1B平面BB1C1C，所以EH平面BB1C1C，又EFEHE，所以平面EF
11、H平面BB1C1C.答案：A5设直线l，m，平面，下列条件能得出的有()l，m，且l，ml，m，且lml，m，且lmA1个 B2个C3个 D0个解析：由两平面平行的判定定理可知，得出的个数为零答案：D6a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，现给出六个命题：ababaa.其中正确的命题是()A BC D解析：由空间平行线的传递性，知正确；错误，a，b还可能相交或异面；错误，与可能相交；由面面平行的传递性，知正确；错误，a可能在内故选C.答案：C7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：PD平面AMCOM平面PCDOM平面PDA
12、OM平面PBAOM平面PBC.其中正确的个数有()A1 B2C3 D4解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点在PBD中，M是PB的中点，所以OM是PBD的中位线，OMPD，则PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA.因为MPB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交故选C.答案：C二、填空题8已知平面和，在平面内任取一条直线a，在内总存在直线ba，则与的位置关系是_(填“平行”或“相交”)解析：假若l，则在平面内，与l相交的直线a，设alA，对于内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即内不存在直线ba.故.答案：平行9在梯形ABC
13、D中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面的位置关系是_解析：因为ABCD，AB平面，CD平面，由线面平行的判定定理可得CD.答案：CD10已知a，b，c是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列说法中：(1)c，c；(2)，；(3)ac，ca；(4)a，a.正确的是_解析：c，c，则，可以平行或相交；，；ac，c，则a或a；a，则a或a.答案：(2)11如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_解析：M，N分别是BF，BC的中点，MNCF.又四边形CDEF为矩形，CFDE，MNDE.又MN平面ADE，DE平面
14、ADE，MN平面ADE.答案：平行12如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是_(填序号)解析：中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP；中ABNP，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB平面MNP；中，AB均与平面MNP相交答案：三、解答题13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.证明：如图，作MEBC交B1B于E，作NFAD交AB于F，连接EF，则EF平面AA1B1B.所以，.因为在正方体ABCDA
15、1B1C1D1中，CMDN，所以B1MBN.又因为B1CBD，所以.所以MENF.又MEBCADNF，所以四边形MEFN为平行四边形，所以MNEF，又因为MN平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，所以MN平面AA1B1B.14如图，P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，求证：(1)AE平面PCF；(2)平面PCF平面AEG.证明：如图，取PC中点H，分别连接EH，FH.E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，EH綊DC，AF綊DC.EH綊AF.四边形EAFH为平行四边形EAFH.又AE平面PCF，FH平面PCF，AE平面PCF.(2)E，G分别为PD，CD
16、的中点，EGPC.又EG平面PCF，PC平面PCF，EG平面PCF.由(1)知AE平面PCF，EGAEE.平面PCF平面AEG.能力提升15.在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，当等于何值时，BC1平面AB1D1?解析：1.证明如下：如图所示，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.所以当1时，BC1平面AB1D1
17、.16.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD；(3)E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1EA1A，问：F在何位置时，平面EB1D1 平面FBD?(4)E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1EA1A(01)，问：为何值时， 平面EB1D1平面FBD?解析：(1)证明：因为B1B綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，所以BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C.又A1DBDD，所以平面A1BD平面
18、B1D1C.(2)证明：由BDB1D1，得BD平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AEB1G，又因为AEB1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1EAG.易得GFAD.又因为GFAD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AGDF，所以B1EDF，所以DF平面EB1D1.又因为BDDFD，所以平面EB1D1平面FBD.(3)当F满足CFCC1时，两平面平行，下面给出证明：在D1D上取点M，且DMDD1，连接AM，FM，则AE綊D1M，从而四边形AMD1E是平行四边形所以D1EAM.同理，FM綊CD，又因为AB綊CD，所以FM綊AB，从而四边形FMAB是平行四边形所以AMBF.即有D1EBF.又BF平面FBD，D1E平面FBD，所以D1E平面FBD.又B1B綊D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形故而B1D1BD，又BD平面FBD，B1D1平面FBD，从而B1D1平面FBD，又D1EB1D1D1，且在平面EB1D1内，从而平面EB1D1平面FBD.(4)当1时，平面EB1D1平面FBD，证明：在DD1上取点M，使DMDD1，则D1M(1)DD1AE，故D1M綊AE.以下证明过程与(3)相同